Fonction entière

NikolaiNikolai · June 2015

Bonjour,

On me demande dans un exercice de montrer qu'une fonction est entière. Plutôt que de poster le même exercice, je poste un exemple traité dans le livre que j'utilise: une fonction de Bessel de première espèce à l'ordre 0
\[ J_0(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{2^{2k}(j!)^2} \]

Dans le livre la preuve que ceci est une fonction entière prend une demi page. Et je me dis que je n'ai pas dû bien comprendre ce que entière veut dire puisque j'aurais dit que c'est plutôt immédiat. Qu'en pensez-vous?

Link · June 2015

Moi je dirais qu'il faut juste prouver que la série converge pour tout $z \in \mathbb{C}$

acx01b · June 2015

en utilisant le théorème des fonctions holomorphes (qu'une fonction holomorphe dans le voisinage d'un point a toutes ses dérivées holomorphes dans ce voisinage) : il suffit de prouver que la série de la fonction et de sa dérivée convergent pour tout $z$ (ont un rayon de convergence infini)

en utilisant le théorème des rayons de convergence des séries entières (que la singularité (*) la plus proche est sur le cercle de rayon le rayon de convergence) : il suffit de prouver que la série converge pour tout $z$ (a un rayon de convergence infini)

sans utiliser aucun théorème sur les fonctions holomorphes : prouver que les séries entières des dérivées successives ont un rayon de convergence infini. les dérivées successives sont donc $C^\infty$ sur toute droite de $\mathbb{C}$ et la fonction est donc $C^\infty$ sur toute droite de $\mathbb{C}$ : elle est donc entière.

(*) une singularité ça peut être un point branchement par exemple $z^{5/2}$ en $0$

YvesM · June 2015

Bonjour,

Avec des notations courantes :

Ce théorème est-il dans ton cours ?
$\displaystyle \sum_{k \geq 0} a_k z^k$ est entière si et seulement si $|a_n|^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

La limite est facile et prend une ligne.

Ou alors une fonction est entière si et seulement si elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann sur tout $\C$. On peut le vérifier directement en écrivant $z=x+iy$ puis la formule binomiale, et enfin un changement d'indice car les coefficients binomiaux sont symétriques.

NikolaiNikolai · June 2015

Merci pour vos réponses. Mon cours ne s'étale pas sur la définition de fonction entière, et le théorème que tu mentionnes, YvesM, n'y figure pas. Cauchy-Riemann, oui, on utilise tout le temps. Je crois que c'est la convergence qui m'embrouille. C'est le liens entre convergence de la série et le fait que la fonction soit holomorphe que je ne saisis pas dans tout les sens. Donc je vais continuer en posant des questions bêtes.
Par exemple, pourquoi dans le cas que j'ai mentionné, étant donné qu'il n'y a de singularités nulle part, on ne peut pas dire directement que la fonction est holomorphe partout sur $\mathbb{C}$ ? C'est bien une somme de choses holomorphes partout qu'on a, non ?

acx01b · June 2015

ça dépend des théorèmes dont tu disposes !

mais que la série converge partout ça ne prouve pas que la fonction est entière ! il faut aussi que sa dérivée (au sens complexe) soit définie partout ! dans ce cas la fonction est bien entière.

mais vu que la série est une série "entière" (pas bon là le double sens de ' entière ') c'est à dire $\sum c_k z^k$ que la série converge partout implique que la dérivée converge aussi partout !

mais si c'était un autre type de série ça ne serait pas vrai.

tu essayes d'étudier les fonctions holomorphes ?

laisse tomber ton bouquin, étudie la démonstration du théorème intégrale de Cauchy, et le fait que ça prouve qu'une fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur cet ouvert.
c'est à peu près le seul théorème compliqué sur les fonctions holomorphes. ensuite une fois qu'on le maîtrise, tous les autres sont presque triviaux, notamment toutes les histoires de singularités.

'cours fonctions holormophes' sur google, le premier lien c'est le cours que j'ai étudié :
http://webusers.imj-prg.fr/~frederic.helein/cours/holo.pdf
qui est parfait sauf sa démonstration du théorème intégrale de Cauchy, que je n'aime pas,

YvesM · June 2015

Bonjour,

La somme (finie) de fonctions entières est entière, mais pour une série il s'agit d'une somme infinie et les choses se compliquent. Il faut montrer que la série converge (et d'une) et que la convergence est pour tout $z$ dans $\C$ (et de deux).

Prend la série $\sum_{k \geq 0} z^k$. C'est la somme de fonction entière ($\forall k \in \N, z \mapsto z^k$) mais elle n'est pas entière car elle diverge si $|z| > 1$, n'est pas ?

NikolaiNikolai · June 2015

Merci acx01b ! Oui j'étudie les fonctions holomorphes, mais pour compliquer les choses c'est dans le cadre d'un cours en anglais pour les ingénieurs (je le prends comme intro à l'analyse complexe). Par exemple, on ne distingue pas fonction holomorphe et analytique, on utilise "analytic" etc. Le cours n'est pas compliqué et on ne m'en demande pas trop. Je veux simplement comprendre ce que je fais.
Je pense que c'est sur l'idée de convergence d'une série que je bute. On l'utilise pour savoir où la fonction est définie, c'est ça ? Si la série ne converge pas quelque part, la fonction n'est pas définie et du coup elle ne peut pas être holomorphe ou analytique ou quoi que ce soit, je comprends bien ?

YvesM, merci ! Là je vois mieux que je ne peux pas juste dire "eh ben elle est entière ça se voit non ?"...

NikolaiNikolai · June 2015

Vu que j'ai un problème avec la convergence, comment étudier, par exemple, la convergence de la série de terme général $ \dfrac{n^2}{2^n}z^n $ ?

YvesM · June 2015

Bonjour,

Oui, restons simple. Ce que tu dis est vrai : si une fonction complexe n'est pas définie sur tout C, alors elle ne peut pas être entière. Entière, signifie, entres autres choses, définies sur tout C.

Dans le cas particulier ou la fonction est donnée sous forme de série, il faut donc que la série converge sur tout C.

Bien sûr une série n'est pas un truc quelconque sommé à l'infini mais une somme infinie de termes de la forme $a_n z^n$. C'est très important. Par exemple, $e^{|z|} = \sum_{k \geq 0} {|z|^k \over k!}$ est bien définie sur tout C (ça commence bien), et converge sur tout C (ça devient intéressant), avec $\lim_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n} = 0$ car $n! \leq n^n$ (d'après le théorème plus haut on devrait être content), mais elle n'est pas entière...

Facile à montrer avec Cauchy-Riemann $e^{\sqrt{x^2+y^2}}$ et en dérivant, etc.

YvesM · June 2015

Bonjour,

Pour $\dfrac{n^2 z^n}{2^n}$ si tu choisis $z=2$ est diverge, non ? Donc pas entière.
Écris : $\displaystyle \frac 1 {1-x} = \sum_{k \geq 0} x^k, |x|<1$
et dérive deux fois, puis prends en $x=\frac 1 2$ et tu trouves la valeur de ta série.

NikolaiNikolai · June 2015

Merci de rester simple. C'est beaucoup plus clair maintenant !

Fin de partie · June 2015

sans utiliser aucun théorème sur les fonctions holomorphes : prouver que les séries entières des dérivées successives ont un rayon de convergence infini. les dérivées successives sont donc C? sur toute droite de C et la fonction est donc C? sur toute droite de C : elle est donc entière. a écrit:

Pas sûr de comprendre ce qui précède.

$C^{\infty}$ sur une droite? Tu veux dire que la fonction $f(at+b)$ avec $a\neq 0,b$ nombres complexes, comme fonction réelle de la variable $t$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ est indéfiniment dérivable?
Je ne suis pas sûr que le fait qu'une fonction soit indéfiniment dérivable, dans ce sens-là, dans toutes les directions implique qu'on peut développer en série entière localement (sur un petit disque ouvert centré en un point du plan complexe) la fonction $f$.

Quand les coefficients d'une série entière ne sont pas tous nuls à partir d'un certain indice et donc que la fonction considérée n'est pas polynôme cela ne me semble pas plus facile de trouver le rayon de convergence de la série entière dérivée.

Par ailleurs, sauf erreur, une série entière est infiniment dérivable sur l'intérieur de son disque de convergence.

remarque · June 2015

Peut-être pour synthétiser, vu que ça part un peu dans tous les sens : fonction entière = fonction holomorphe sur $\C$ est la définition. Un théorème est que ceci est équivalent à ce que la série entière calculée en n'importe quel point de $\C$, par exemple $0$, a un rayon de convergence infini.

Si le rayon de convergence d'une série entière en $z_0$ est $R<+\infty$, alors la fonction holomorphe définie par cette série n'a pas de prolongement holomorphe à un ouvert strictement plus grand que le disque de centre $z_0$ et de rayon $R$. Ce rayon est celui du plus grand disque ouvert centré en $z_0$ et contenu dans un ouvert maximal où la fonction est holomorphe. En gros, il se passe quelque chose de singulier en au moins un point du cercle de centre $z_0$ et de rayon $R$.

GaBuZoMeu · June 2015

Remarque, dans la deuxième ligne de ton deuxième paragraphe, tu parles bien du disque fermé ? Tu devrais peut-être le préciser, pour que ta synthèse dissipe bien le trouble. ;-)