dérivée d'une indicatrice, convergence.
Bonjour à tous, j'ai un problème relativement basique, et je m'en veut de ne pas savoir faire...
J'ai une suite de fonction $f_n(x) = nx ~\chi_{]0,1/n]} + \chi_{]1/n,1-1/n[} + n(1-x)~\chi_{[1-1/n,1[}$.
Je dois montrer que $\int | f_n'| \rightarrow 2$ lorsque $n \to \infty$.
En fait j'ai un peu de mal à dériver cette fonction (qui n'est d'ailleurs pas dérivable au sens usuel en $\frac{1}{n}$ et en $1-\frac{1}{n}$).
Je vois bien que c'est une fonction affine par morceau qui est dérivable sur $[0,1]$ privé de $\frac{1}{n}$ et de $1-\frac{1}{n}$.
Je ne vois pas comment m'y prendre de façon rigoureuse. Est-ce que cela fait apparaitre des Dirac ?
Merci d'avance pour vos indications, et bonne journée.
[Paul Dirac (1902-1984) prend toujours une majuscule et jamais de 's' terminal. AD]
J'ai une suite de fonction $f_n(x) = nx ~\chi_{]0,1/n]} + \chi_{]1/n,1-1/n[} + n(1-x)~\chi_{[1-1/n,1[}$.
Je dois montrer que $\int | f_n'| \rightarrow 2$ lorsque $n \to \infty$.
En fait j'ai un peu de mal à dériver cette fonction (qui n'est d'ailleurs pas dérivable au sens usuel en $\frac{1}{n}$ et en $1-\frac{1}{n}$).
Je vois bien que c'est une fonction affine par morceau qui est dérivable sur $[0,1]$ privé de $\frac{1}{n}$ et de $1-\frac{1}{n}$.
Je ne vois pas comment m'y prendre de façon rigoureuse. Est-ce que cela fait apparaitre des Dirac ?
Merci d'avance pour vos indications, et bonne journée.
[Paul Dirac (1902-1984) prend toujours une majuscule et jamais de 's' terminal. AD]
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Réponses
La dérivée, au sens des distributions, de la distribution régulière associée à $f: x \mapsto 1_{[a,b]}(x), a<b$ est $(T_f)' = \delta_a - \delta_b$ car $f \in L_{loc}^1$ est localement intégrable (la fonction est intégrable sur tout borné de $\R$).
En utilisant la dérivée, au sens des distributions, on a $(\alpha T)' = \alpha' T + \alpha T'$ où $\alpha \in C^{\infty} (\R)$.
Je te laisse faire le calcul. On trouve bien le résultat énoncé. (Faire un dessin pour traiter la valeur absolue.)
La fonction f'_n étant en effet continue sur [0,1] sauf en deux points où elle n'est pas définie mais possédant des limites à gauches et à droites en ces points qui sont finies, elle est Riemann-intégrable non ?
Rien n'empêche de définir les $f'_n$ presque partout.
Ce sont des fonctions en escalier dont l'intégrale de la valeur absolue sur $\R$ vaut exactement 2 (du moment que $n$ est plus grand que 1).
Pour YvesM :
En fait, je vois bien que la dérivée de l'indicatrice est une différence de [size=large]D[/size]irac. Mais à ce moment là en utilisant la formule de dérivation d'un produit d'une distribution par une fonction, je me retrouve à devoir intégrer des [size=large]D[/size]irac ... Or, cela n'a pas de sens non ?
Je veux dire, à ce moment là j'obtiens
$ f_n'(x) = n 1_{]0,1/n]} + nx (\delta_0 - \delta_{1/n}) + \delta_{1/n} - \delta_{1-1/n} - n 1_{[1-1/n,1[} + n(1-x) ( \delta_{1-1/n} - \delta_{1})$.
Déjà, pour appréhender la valeur absolue... Je vois bien dans l'idée que entre 0 et 1/n la fonction vaut n, donc l'intégrale entre 0 et 1/n vaut 1, et je vois aussi que entre 1-1/n et 1 la fonction faut -n donc n en valeur absolue, donc d'intégrale 1 aussi, ce qui fait un total de deux...
Mais rigoureusement comment écrire tout cela ? L'intégrale d'un [size=large]D[/size]irac ne pouvant pas être écrite telle qu'elle, j'aimerais comprendre.
Philippe Malot :
Tu me suggères de dire que me dérivée n'est autre que :
$n $ sur $[0,1/n[$, 0 sur $]1:n,1-1/n[$, et $-n$ sur $]1-1/n,1[$, et qu'alors comme $f_n$ est dérivable presque partout, et que cette dérivée étant Lebesgue intégrable, quel que soit le représentant choisi de $f_n'$, on obtient finalement le même résultat, c'est à dire que pour tout $n$ l'intégrale vaut exactement 2 ?
Merci encore !
[En toute occasion, Paul Dirac (1902-1984) prend une majuscule. AD]
Tu as fait le plus dur, c'est-à-dire dériver au sens des distributions. Et si j'oublie des notations qui pourraient laisser croire que tu confonds distribution avec fonction, alors tu es sur le bon chemin.
Pour continuer, on intègre :
$\displaystyle <\delta_a, f> = \int_{I \subset \R} dx f(x) \delta_a = f(a), a \in I$ ou $\quad =0, a \not\in I.$
Enfin, on se rappelle la relation de Chasles :
$\displaystyle \int_{a}^{b} du f(u) = \int_{a}^{c} du f(u) + \int_{c}^{b} du f(u)$ si les deux intégrales existent, qui est le cas dans ton exercice, car les fonctions à intégrer sont localement intégrables.
Donc pourquoi ne pas considérer cette relation : $\displaystyle \R = ]-\infty,0] \,\cup\, ]0, \frac{1}{n}] \,\cup\, ]\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}[ \,\cup\, [1-\frac{1}{n}, 1[\,\cup\,[1, +\infty[, n \geq 2$ ?
$\delta_a $ n'est pas une fonction. En maths on n’écrit pas ce produit de dualité comme une intégrale
Pour tout $\phi \in D(\mathbb{R})$ :
$< f_n',\phi> = - \int_\mathbb{R} f_n \phi' = -\int_0^{1/n} nx \phi' - \int_{1/n}^{1-1/n} \phi' -\int_{1-1/n}^1 n(1-x) \phi'(x) dx $
$= n\int_0^{1/n} \phi - \phi(1/n) -\phi(1-1/n) + \phi(1/n) - \int_{1-1/n}^1 n\phi + \phi(1-1/n)$
$= <n 1_{[0,1/n[} - n 1_{]1-1/n,1]}, \phi>$.
En fait les Dirac disparaissent ! et l'intégrale du module de $f_n'$ vaut clairement 2 !
La rédaction est elle correcte ?
Merci à vous !
La rédaction laisse à désirer, il faut passer en valeur absolue
Il faut éviter les distributions, puisque $f_n$ est dérivable pp Tu as simplement $f_n'= n 1_{[0,1/n[} - n 1_{]1-1/n,1]}\ pp $
Donc si $n\geq 2$, tu as $\frac 1n \leq 1- \frac 1n$ tu fais un dessin et tu veras que $| f_n'| = n 1_{[0,1/n[} + n 1_{]1-1/n,1]}\ pp $
donc $\int | f_n'|=2$ par un calcul simple d'Aire
Par contre si je voulais calculer la dérivée au sens des distributions, en quoi ma rédaction laissait à désirer ?
Par ailleurs, je vois bien que l'intégrale de $f_n$ cette fois çi tend vers 1.
J'aimerais comprendre ce qu'est la limite de ma fonction $f_n$. Sur un dessin, on a l'impression que la limite est la fonction $1_{]0,1[}$. Est ce le cas ? Car je dois en fait dire que la limite de ma suite $f_n$ est une fonction de $W_0^{1,1}(]0,1[)$, et je bloque un peu.
Si j'ai bien compris tu t'intéresses à $\int | f_n'|$ et non pas à $\int f_n' $
Edit Ta phrase l'intégrale du module de f?n vaut clairement 2 manque de justification
Merci encore.
Quelqu'un pourrait il m'éclairer au sujet de l'appartenance de ma limite à l'espace $W^{1,1}_0(]0,1[)$ ?
Bonne journée !
Par contre, il n'y a pas convergence pour la norme de $W^{1,1}(]0,1[)$, vu que $|| f_n ||_{W^{1,1}(]0,1[)} = 3$ mais que $||\lim f_n ||_{W^{1,1}(]0,1[)} = 1$