dérivée d'une indicatrice, convergence.

klok · July 2015

Bonjour à tous, j'ai un problème relativement basique, et je m'en veut de ne pas savoir faire...

J'ai une suite de fonction $f_n(x) = nx ~\chi_{]0,1/n]} + \chi_{]1/n,1-1/n[} + n(1-x)~\chi_{[1-1/n,1[}$.

Je dois montrer que $\int | f_n'| \rightarrow 2$ lorsque $n \to \infty$.

En fait j'ai un peu de mal à dériver cette fonction (qui n'est d'ailleurs pas dérivable au sens usuel en $\frac{1}{n}$ et en $1-\frac{1}{n}$).
Je vois bien que c'est une fonction affine par morceau qui est dérivable sur $[0,1]$ privé de $\frac{1}{n}$ et de $1-\frac{1}{n}$.

Je ne vois pas comment m'y prendre de façon rigoureuse. Est-ce que cela fait apparaitre des Dirac ?
Merci d'avance pour vos indications, et bonne journée.

[Paul Dirac (1902-1984) prend toujours une majuscule et jamais de 's' terminal. AD]

YvesM · July 2015

Bonjour,

La dérivée, au sens des distributions, de la distribution régulière associée à $f: x \mapsto 1_{[a,b]}(x), a<b$ est $(T_f)' = \delta_a - \delta_b$ car $f \in L_{loc}^1$ est localement intégrable (la fonction est intégrable sur tout borné de $\R$).

En utilisant la dérivée, au sens des distributions, on a $(\alpha T)' = \alpha' T + \alpha T'$ où $\alpha \in C^{\infty} (\R)$.

Je te laisse faire le calcul. On trouve bien le résultat énoncé. (Faire un dessin pour traiter la valeur absolue.)

Alexius Caperro · July 2015

Question naïve : peut-on, pour calculer cette intégrale, la découper d'abord sur ]0,1/n[, ]1/n,1-1/n[ et sur ]1-1/n,1[ puis les sommer toutes les trois et trouver ainsi le bon résultat ?
La fonction f'_n étant en effet continue sur [0,1] sauf en deux points où elle n'est pas définie mais possédant des limites à gauches et à droites en ces points qui sont finies, elle est Riemann-intégrable non ?

Philippe Malot · July 2015

Bonjour,

Rien n'empêche de définir les $f'_n$ presque partout.
Ce sont des fonctions en escalier dont l'intégrale de la valeur absolue sur $\R$ vaut exactement 2 (du moment que $n$ est plus grand que 1).

klok · July 2015

Merci pour vos réponses.

Pour YvesM :

En fait, je vois bien que la dérivée de l'indicatrice est une différence de [size=large]D[/size]irac. Mais à ce moment là en utilisant la formule de dérivation d'un produit d'une distribution par une fonction, je me retrouve à devoir intégrer des [size=large]D[/size]irac ... Or, cela n'a pas de sens non ?

Je veux dire, à ce moment là j'obtiens

$ f_n'(x) = n 1_{]0,1/n]} + nx (\delta_0 - \delta_{1/n}) + \delta_{1/n} - \delta_{1-1/n} - n 1_{[1-1/n,1[} + n(1-x) ( \delta_{1-1/n} - \delta_{1})$.
Déjà, pour appréhender la valeur absolue... Je vois bien dans l'idée que entre 0 et 1/n la fonction vaut n, donc l'intégrale entre 0 et 1/n vaut 1, et je vois aussi que entre 1-1/n et 1 la fonction faut -n donc n en valeur absolue, donc d'intégrale 1 aussi, ce qui fait un total de deux...
Mais rigoureusement comment écrire tout cela ? L'intégrale d'un [size=large]D[/size]irac ne pouvant pas être écrite telle qu'elle, j'aimerais comprendre.

Philippe Malot :
Tu me suggères de dire que me dérivée n'est autre que :

$n $ sur $[0,1/n[$, 0 sur $]1:n,1-1/n[$, et $-n$ sur $]1-1/n,1[$, et qu'alors comme $f_n$ est dérivable presque partout, et que cette dérivée étant Lebesgue intégrable, quel que soit le représentant choisi de $f_n'$, on obtient finalement le même résultat, c'est à dire que pour tout $n$ l'intégrale vaut exactement 2 ?

Merci encore !

[En toute occasion, Paul Dirac (1902-1984) prend une majuscule. AD]

YvesM · July 2015

Bonjour,

Tu as fait le plus dur, c'est-à-dire dériver au sens des distributions. Et si j'oublie des notations qui pourraient laisser croire que tu confonds distribution avec fonction, alors tu es sur le bon chemin.

Pour continuer, on intègre :
$\displaystyle <\delta_a, f> = \int_{I \subset \R} dx f(x) \delta_a = f(a), a \in I$ ou $\quad =0, a \not\in I.$

Enfin, on se rappelle la relation de Chasles :
$\displaystyle \int_{a}^{b} du f(u) = \int_{a}^{c} du f(u) + \int_{c}^{b} du f(u)$ si les deux intégrales existent, qui est le cas dans ton exercice, car les fonctions à intégrer sont localement intégrables.

Donc pourquoi ne pas considérer cette relation : $\displaystyle \R = ]-\infty,0] \,\cup\, ]0, \frac{1}{n}] \,\cup\, ]\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}[ \,\cup\, [1-\frac{1}{n}, 1[\,\cup\,[1, +\infty[, n \geq 2$ ?

la bella · July 2015

Bonjour

Pour continuer, on intègre :
$\displaystyle <\delta_a, f> = \int_{I \subset \R}
dx f(x) \delta_a = f(a), a \in I$ ou $\quad =0, a
\not\in I.$

$\delta_a $ n'est pas une fonction. En maths on n’écrit pas ce produit de dualité comme une intégrale

klok · July 2015

Oui en fait avec plus de rigueur, en calculant la dérivée au sens des distributions je trouve :

Pour tout $\phi \in D(\mathbb{R})$ :

$< f_n',\phi> = - \int_\mathbb{R} f_n \phi' = -\int_0^{1/n} nx \phi' - \int_{1/n}^{1-1/n} \phi' -\int_{1-1/n}^1 n(1-x) \phi'(x) dx $

$= n\int_0^{1/n} \phi - \phi(1/n) -\phi(1-1/n) + \phi(1/n) - \int_{1-1/n}^1 n\phi + \phi(1-1/n)$

$= <n 1_{[0,1/n[} - n 1_{]1-1/n,1]}, \phi>$.

En fait les Dirac disparaissent ! et l'intégrale du module de $f_n'$ vaut clairement 2 !

La rédaction est elle correcte ?

Merci à vous !

gebrane · July 2015

Bonjour,
La rédaction laisse à désirer, il faut passer en valeur absolue
Il faut éviter les distributions, puisque $f_n$ est dérivable pp Tu as simplement $f_n'= n 1_{[0,1/n[} - n 1_{]1-1/n,1]}\ pp $
Donc si $n\geq 2$, tu as $\frac 1n \leq 1- \frac 1n$ tu fais un dessin et tu veras que $| f_n'| = n 1_{[0,1/n[} + n 1_{]1-1/n,1]}\ pp $
donc $\int | f_n'|=2$ par un calcul simple d'Aire

klok · July 2015

Bonjour Gebrane0. Merci à toi, oui effectivement, je préfère cette manière de faire.
Par contre si je voulais calculer la dérivée au sens des distributions, en quoi ma rédaction laissait à désirer ?

Par ailleurs, je vois bien que l'intégrale de $f_n$ cette fois çi tend vers 1.

J'aimerais comprendre ce qu'est la limite de ma fonction $f_n$. Sur un dessin, on a l'impression que la limite est la fonction $1_{]0,1[}$. Est ce le cas ? Car je dois en fait dire que la limite de ma suite $f_n$ est une fonction de $W_0^{1,1}(]0,1[)$, et je bloque un peu.

gebrane · July 2015

Bonjour,

en quoi ma rédaction laissait à désirer ?

Si j'ai bien compris tu t'intéresses à $\int | f_n'|$ et non pas à $\int f_n' $

Edit Ta phrase l'intégrale du module de f?n vaut clairement 2 manque de justification

klok · July 2015

Ah oui, tout à fait, dans mon calcul je ne faisais que calculer la dérivée au sens des distributions de $f_n$. Après bien sur il faut passer à la valeur absolue, mais cela ne me posait pas de problème.

Merci encore.
Quelqu'un pourrait il m'éclairer au sujet de l'appartenance de ma limite à l'espace $W^{1,1}_0(]0,1[)$ ?

Bonne journée !

Tryss · July 2015

La limite simple (presque partout) de ta fonction, $f(x) = 1$ est dans $W^{1,1}(]0,1[)$ mais pas dans $W^{1,1}_0(]0,1[)$ , ça peut se voir avec la notion de trace de la fonction (si on a défini ça).

Par contre, il n'y a pas convergence pour la norme de $W^{1,1}(]0,1[)$, vu que $|| f_n ||_{W^{1,1}(]0,1[)} = 3$ mais que $||\lim f_n ||_{W^{1,1}(]0,1[)} = 1$

dérivée d'une indicatrice, convergence.

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