Suite et sous-suite

Bonjour, soit $(x_{\varphi(n)})$ une sous suite de $(x_n)$. Je dois montrer que $\varphi(n)\geq n$ pour tout $n$. Par induction, on a nécessairement que $\varphi(0)\geq 0$. Ensuite, on suppose que $\varphi(n)\geq n$. Puisque $\varphi$ est strictement croissante,
$$\varphi(n+1)>\varphi(n)\geq n$$
et donc $\varphi(n+1)>n$. Comme $\varphi(n+1)$ est dans $\mathbb N$, on a nécessairement que $\varphi(n+1)\geq n+1$.

Est-ce que cette preuve est correcte ?

Merci