Comment motiver l'introduction de l'intégration en terminale (S par exemple) ? Dire que cela permet de calculer une aire sous une courbe me parait léger...et dans ce cas, pourquoi calculer une aire sous une courbe ? Intérêt ?
Merci pour vos réponses.
C'est plutôt difficile de lancer le sujet des intégrales avec de la thermo ou de la mécanique en terminale, non ? ...et dans les progressions, en général, les proba viennent après cette partie.
Pourquoi s'intéresse-t-on au niveau terminale à l'intégrale d'une fonction (et même plus tard) ? dans les livres, l'entrée en matière est, a priori à chaque fois, l'aire sous une courbe...Qui peut paraitre bizarre comme questionnement pour un élève novice.
Qu'en pensez-vous ? Que répondriez-vous ? Comment introduisez-vous l'intégrale en terminale : avec l'aire ?
Je suis preneur d'idées. Merci
Quand j'étais en première, le prof nous faisait calculer l'aire sous la courbe $y=x^2$ ($0\leqslant x\leqslant 1$) avec des sommes de Riemann avant d'introduire l'intégrale, et personne ne s'est plaint que c'était un problème sans intérêt.
Sinon, voici des problèmes plus concrets :
* Une voiture a une accélération constante : $v(t)=at$. Quelle est la distance parcourue au bout de $T$ secondes ?
* Un panneau solaire reçoit la puissance $P(t)=P_0\sin\omega t$ ($0\leqslant t\leqslant \pi/\omega$) au cours d'une journée. Quelle est l'énergie totale reçue pendant la journée ?
On voudrait niveler un terrain décrit par une courbe (vue de profil).
A quelle hauteur faut-il situer le terrain nivelé pour que les remblais équilibrent les déblais?
Je maintiens l'approche par probas/stats.
Tu prends une série statistique continue. Tu considère son histogramme et sa courbe des fréquences cumulées croissantes.
Tu fais constater que cette dernière mesure (à un facteur près) l'aire sous l'histogramme et qu'inversement l'histogramme est la dérivée (à un facteur près) de la fonction des fréquences cumulées croissantes.
Tu traduis dans le langage des probabilités ("On tire un des éléments mesurés de façon équiprobable parmi tous les éléments mesurés, etc...")
Tu es près à passer aux lois continues mais il te faut pour cela savoir mesurer l'aire sous la courbe de ta fonction de densité. D'où le chapitre.
Par ailleurs, n'oublie pas que le calcul d'aire est historiquement le moteur du calcul intégral.
Je trouve que tu renonces un peu trop vite à chercher du côté de la physique. En restant sur un déplacement linéaire, les liens entre position, vitesse et accélération sont intéressants et pas trop compliqués si l'accélération est constante. C'est peut-être même trop simple en fait !
sur ce document, les auteurs introduisent la notion via deux activités : l'une basée sur le lien vitesse-distance et l'autre basée sur la quadrature de la parabole. Les deux reposent sur des découpages en rectangles. La première semble assez pertinente.
Si on veut conserver une problématique qui reste interne à la géométrie qu'ils connaisent, on peut aussi commencer par faire remarquer aux élèves que, jusqu'à présent, ils ne savent que calculer l'aire des triangles et des rectangles (et des autres figures qui ne se ramènent à ce cas par découpage) tout en comprenant à peu près pourquoi la formule est ce qu'elle est.
Bien sûr, il y a aussi les disques, mais là, comment justifier cette formule ? Tenter d'y répondre, c'est déjà mettre un pied dans l'intégration (approximation par des polygones, découpages en triangles, encadrements).
A partir de ces premiers constats, on peut alors demander comment généraliser l'approche d'Archimède : à partir d'un matériel assez modeste (aire des rectangles), comment approcher l'aire de figures délimitées par autres choses que des segments de droite, typiquement un segment de parabole ou d'hyperbole (objets connus depuis la seconde) ?
« Bien sûr, il y a aussi les disques, mais là, comment justifier cette formule ? Tenter d'y répondre, c'est déjà mettre un pied dans l'intégration »
N'est-ce pas le but ?
Par ailleurs il faudrait peut-être arrêter de se justifier sans arrêt. Non, l'intérêt d'une notion ne peut pas toujours se voir avant de l'avoir étudiée sérieusement. Oui, il faut parfois savoir faire confiance à ses profs. Bon évidemment le programme est délirant donc ça met à mal ma position mais...
Troll : cette invitation à motiver les élèves ou les objets introduits correspond-elle à la transformation du programme de math en un truc sans queue ni tête et non motivable !? Un bon programme est auto-motivé...
Le fait est que la plupart des notions abordées au lycée ont été introduites historiquement pour répondre à un problème. Je n'ai pas le sentiment de présenter des excuses quand j'en informe des élèves.
Pourquoi les élèves devraient-ils nous accorder leur confiance sans qu'on ait à se battre pour la gagner ?
C'est marrant comme très vite on se fait reprendre quand on veut essayer de donner du sens à une notion en mathématiques. On a l'impression que c'est pécher !!
Bizarre ! Regarder historiquement comment une notion est apparue ; quels types de problèmes (concrets ou de type mathématique) elle permet de résoudre, me parait fondamental en maths, surtout quand on est prof !
@cedv (et magnéto) c'est parce que le pedagogisme est passé par là et a tellement tout détruit que maintenant sur les forums quand une question ou une intervention "sent le" pedagogisme ça provoque des réactions. (Et pour être précis je confirme que cette volonté de vouloir sortir des maths (ie "motiver" une notion par des "applications concrètes") sent assez fort le pedagogisme)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Moi aussi cette activité me semble très bien Magnéthorax. Elle aurait pleinement sa place dans un cours de mécanique. Les cours de physique d'aujourd'hui ne traitent-ils plus ces choses là ?
Comme on peut le constater sur mes réponses, je n'ai aucune envie de sortir des maths. Qu'un ensignant se pose la question : "Comment introduire telle notion ?", cela me paraît plutôt sain.
Bourbaki, dont on ne soupçonne pas qu'il soit un agent du pédagogisme, ne néglige pas faire des commentaires historiques quant à l'élaboration de théories.
« Pourquoi les élèves devraient-ils nous accorder leur confiance sans qu'on ait à se battre pour la gagner ? »
Pour gagner un temps précieux, pour éviter que les élèves ne fassent une bouillie où motivations, définitions, exemples et théorèmes soient confondus. Je ne défends pas l'idée d'un cours sans motivations ni applications. Par contre je me méfie de cette volonté de vouloir motiver l'introduction de tout objet. Il est parfois beaucoup plus efficace de donner la motivation après, une fois que l'objet a été un peu étudié.
Mais je pense que christophe a bien résumé les choses : ma réaction est plus une réaction au pédagogisme qu'à vos démarche qui sont peut-être tout à fait saines :-) !
"En soi" faire une note historique n'est pas grave. Mais récemment il y a eu plusieurs fils ouverts sur le forum où on voit des enseignants dire " je voudrais motiver (/justifier/introduire) mon cours sur machin". J'ai donc tenté d'expliquer les contre réactions épidermiques des forumeurs.
Par ailleurs rien à voir avec Bourbaki : ta remarque typique du pedagogisme elle sur "la confiance qui se gagne".
Tu vois bien qu'on n'est jamais très loin de la controverse (ta remarque)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Non je ne crois pas. Le procès du pedagogisme prendra des années et il est très tard dans le processus: l'enseignement des maths est déjà essentiellement détruit. Le supérieur ne s'en sort lui même presque plus pour réparer les dégâts du secondaire sans compter la désertification.
Du coup pas vraiment besoin d'un terme. Le pedagogisme est seul face à sa responsabilité. Les autres déplorent mais ne portent pas de nom.
Le pedagogisme c'est le vaste mouvance qui depuis 90 dit en gros "faut donner des exemples concrets" , "motiver les notions" , "donner du sens" , "mettre les élèves en activité" , "faire des probas stats" , "éviter les démonstrations" , "conjecturer", etc etc j'en oublie bref tout ce qui en gros consiste à "ne faites pas de maths quand vous enseignez la matière mathématique". Évidemment ça ne pouvait que marcher: les maths ont disparu du secondaire.
Donc pour te répondre peut être "en face" peut on dire "pedagogisme versus math". Je ne sais pas vraiment
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je ne vois pas trop en quoi j'ai manqué de nuance et en plus j'ai déjà détaillé beaucoup plus sur le forum ce que je pense. Mais là d'une petite île grecque sur un wifi de mon téléphone...
Mais quoi qu'il en soit le "désastre" du secondaire EN MATHEMATIQUE est maintenant amplement connu de tous ceux en position d'évaluer quant à la désaffection (une division par 10 des effectifs en 10ans) elle est connue de tous. Rien de zemmourien ou d'exagéré dans mon post. Maintenant il est vrai que si dans 5ans les profs de maths de collège sont réaffectés à enseigner aux élèves comment on fait un site internet il y a plein de gens qui n'y verront aucun problème et même un progrès. Je ne le nie pas. Après tout pourquoi enseignait on ce chinois à l'école?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je file un coup de main à quelqu'un qui pose une question et me voilà embarqué dans une discussion complètement fermée et polémique sur un sujet qui ne m'intéresse pas. Ca m'apprendra.
Quelqu'un peut m'expliquer comment on ferme le compte ?
Bin le WE arrive. Plus sérieusement tu l'as un peu provoqué la polémique ""discussion fermée" , "je vais relire zemmour" , "faut se battre pour mériter la confiance" , etc.
Moi même initialement j'avais juste en tête de préciser l'éventuel contexte des réactions de H et noix de toto car de mon téléphone je ne peux pas polémiquer. Enfin bref je pense avoir amplement contextuer pourquoi certains intervenants sont choques quand ils voient quelqu'un s'excuser d'introduire une notion abstraite
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
e.v.
C'est plutôt difficile de lancer le sujet des intégrales avec de la thermo ou de la mécanique en terminale, non ? ...et dans les progressions, en général, les proba viennent après cette partie.
Pourquoi s'intéresse-t-on au niveau terminale à l'intégrale d'une fonction (et même plus tard) ? dans les livres, l'entrée en matière est, a priori à chaque fois, l'aire sous une courbe...Qui peut paraitre bizarre comme questionnement pour un élève novice.
Qu'en pensez-vous ? Que répondriez-vous ? Comment introduisez-vous l'intégrale en terminale : avec l'aire ?
Je suis preneur d'idées. Merci
Sinon, voici des problèmes plus concrets :
* Une voiture a une accélération constante : $v(t)=at$. Quelle est la distance parcourue au bout de $T$ secondes ?
* Un panneau solaire reçoit la puissance $P(t)=P_0\sin\omega t$ ($0\leqslant t\leqslant \pi/\omega$) au cours d'une journée. Quelle est l'énergie totale reçue pendant la journée ?
une approche "plus concrète" possible:
On voudrait niveler un terrain décrit par une courbe (vue de profil).
A quelle hauteur faut-il situer le terrain nivelé pour que les remblais équilibrent les déblais?
Ca peut servir de point de départ, non?
Y.
Je maintiens l'approche par probas/stats.
Tu prends une série statistique continue. Tu considère son histogramme et sa courbe des fréquences cumulées croissantes.
Tu fais constater que cette dernière mesure (à un facteur près) l'aire sous l'histogramme et qu'inversement l'histogramme est la dérivée (à un facteur près) de la fonction des fréquences cumulées croissantes.
Tu traduis dans le langage des probabilités ("On tire un des éléments mesurés de façon équiprobable parmi tous les éléments mesurés, etc...")
Tu es près à passer aux lois continues mais il te faut pour cela savoir mesurer l'aire sous la courbe de ta fonction de densité. D'où le chapitre.
Par ailleurs, n'oublie pas que le calcul d'aire est historiquement le moteur du calcul intégral.
e.v.
Je trouve que tu renonces un peu trop vite à chercher du côté de la physique. En restant sur un déplacement linéaire, les liens entre position, vitesse et accélération sont intéressants et pas trop compliqués si l'accélération est constante. C'est peut-être même trop simple en fait !
Mais des mathématiques restent des mathématiques, quelles que soient les modes qui passent (et repassent).
Il n'y a pas de honte à introduire cette notion par sa définition. On peut ensuite montrer à quoi "elle peut bien servir".
sur ce document, les auteurs introduisent la notion via deux activités : l'une basée sur le lien vitesse-distance et l'autre basée sur la quadrature de la parabole. Les deux reposent sur des découpages en rectangles. La première semble assez pertinente.
Si on veut conserver une problématique qui reste interne à la géométrie qu'ils connaisent, on peut aussi commencer par faire remarquer aux élèves que, jusqu'à présent, ils ne savent que calculer l'aire des triangles et des rectangles (et des autres figures qui ne se ramènent à ce cas par découpage) tout en comprenant à peu près pourquoi la formule est ce qu'elle est.
Bien sûr, il y a aussi les disques, mais là, comment justifier cette formule ? Tenter d'y répondre, c'est déjà mettre un pied dans l'intégration (approximation par des polygones, découpages en triangles, encadrements).
A partir de ces premiers constats, on peut alors demander comment généraliser l'approche d'Archimède : à partir d'un matériel assez modeste (aire des rectangles), comment approcher l'aire de figures délimitées par autres choses que des segments de droite, typiquement un segment de parabole ou d'hyperbole (objets connus depuis la seconde) ?
N'est-ce pas le but ?
Par ailleurs il faudrait peut-être arrêter de se justifier sans arrêt. Non, l'intérêt d'une notion ne peut pas toujours se voir avant de l'avoir étudiée sérieusement. Oui, il faut parfois savoir faire confiance à ses profs. Bon évidemment le programme est délirant donc ça met à mal ma position mais...
Troll : cette invitation à motiver les élèves ou les objets introduits correspond-elle à la transformation du programme de math en un truc sans queue ni tête et non motivable !? Un bon programme est auto-motivé...
Pourquoi les élèves devraient-ils nous accorder leur confiance sans qu'on ait à se battre pour la gagner ?
C'est marrant comme très vite on se fait reprendre quand on veut essayer de donner du sens à une notion en mathématiques. On a l'impression que c'est pécher !!
Bizarre ! Regarder historiquement comment une notion est apparue ; quels types de problèmes (concrets ou de type mathématique) elle permet de résoudre, me parait fondamental en maths, surtout quand on est prof !
Je vais creuser encore cette intégration.
http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA02/AL7MA02TEPA0213-Sequence-07.pdf
me semble pas mal pour une modeste introduction physico-mathématique.
Bourbaki, dont on ne soupçonne pas qu'il soit un agent du pédagogisme, ne néglige pas faire des commentaires historiques quant à l'élaboration de théories.
Pour gagner un temps précieux, pour éviter que les élèves ne fassent une bouillie où motivations, définitions, exemples et théorèmes soient confondus. Je ne défends pas l'idée d'un cours sans motivations ni applications. Par contre je me méfie de cette volonté de vouloir motiver l'introduction de tout objet. Il est parfois beaucoup plus efficace de donner la motivation après, une fois que l'objet a été un peu étudié.
Mais je pense que christophe a bien résumé les choses : ma réaction est plus une réaction au pédagogisme qu'à vos démarche qui sont peut-être tout à fait saines :-) !
Par ailleurs rien à voir avec Bourbaki : ta remarque typique du pedagogisme elle sur "la confiance qui se gagne".
Tu vois bien qu'on n'est jamais très loin de la controverse (ta remarque)
Exemple de fil
pédagogisme versus ...
?
:-D
Du coup pas vraiment besoin d'un terme. Le pedagogisme est seul face à sa responsabilité. Les autres déplorent mais ne portent pas de nom.
Le pedagogisme c'est le vaste mouvance qui depuis 90 dit en gros "faut donner des exemples concrets" , "motiver les notions" , "donner du sens" , "mettre les élèves en activité" , "faire des probas stats" , "éviter les démonstrations" , "conjecturer", etc etc j'en oublie bref tout ce qui en gros consiste à "ne faites pas de maths quand vous enseignez la matière mathématique". Évidemment ça ne pouvait que marcher: les maths ont disparu du secondaire.
Donc pour te répondre peut être "en face" peut on dire "pedagogisme versus math". Je ne sais pas vraiment
Comme M. Jourdain, je faisais du pédagogisme sans m'en rendre compte.
Il faut que je relise mon Zemmour avec plus d'attention.
Tu vois, je faisais du pédagogisme sans m'en rendre compte, et toi, tu donnais dans le zemmourisme s'en t'en rendre compte...
Je ne vois pas trop en quoi j'ai manqué de nuance et en plus j'ai déjà détaillé beaucoup plus sur le forum ce que je pense. Mais là d'une petite île grecque sur un wifi de mon téléphone...
Mais quoi qu'il en soit le "désastre" du secondaire EN MATHEMATIQUE est maintenant amplement connu de tous ceux en position d'évaluer quant à la désaffection (une division par 10 des effectifs en 10ans) elle est connue de tous. Rien de zemmourien ou d'exagéré dans mon post. Maintenant il est vrai que si dans 5ans les profs de maths de collège sont réaffectés à enseigner aux élèves comment on fait un site internet il y a plein de gens qui n'y verront aucun problème et même un progrès. Je ne le nie pas. Après tout pourquoi enseignait on ce chinois à l'école?
Quelqu'un peut m'expliquer comment on ferme le compte ?
Moi même initialement j'avais juste en tête de préciser l'éventuel contexte des réactions de H et noix de toto car de mon téléphone je ne peux pas polémiquer. Enfin bref je pense avoir amplement contextuer pourquoi certains intervenants sont choques quand ils voient quelqu'un s'excuser d'introduire une notion abstraite