Intégrales de Wallis

Bonjour, j'ai rédigé une partie du problème de CAPES externe 2009, 1ère composition.

C'est bien rédigé ou ça craint un max ? J'ai l'impression d'en avoir fait un peu des tonnes mais bon quand on aime on ne compte pas. Au fait je suis pris de gros doutes existentiels. Ça m'a un peu fait cracher mes tripes (au sens mathématiques) de rédiger cette partie et pourtant c'est le petit 1 d'une des sous parties. J'ai clairement l'impression que je ne vais pas pouvoir aller assez vite le jour J.

PS : ne cherchez pas à m'aider nécessairement, je poste ça histoire d'avoir un petit retour, pas sûr que la lecture de mon pavé vous soit très agréable en cette période aoûtienne. Merci à tous ceux qui me liront !

On pose pour $n\in\mathbb{N}$ :
$$W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^n(x)\mathrm d x$$

a) Considérons l'application
$$\phi_1:\begin{cases}[0,1]&\mapsto[0;\frac{\pi}{2}]\\
x&\mapsto\cos(x)
\end{cases}
$$ $\phi_1$ est un $\mathcal{C}^1$ difféomorphisme (application inversible et différentiable, dont l'inverse est également différentiable). On peut donc appliquer le théorème du changement de variable, et l'on a pour les bornes : $\phi_1(0)=1$, $\phi_1(\pi/2)=0$ (l'application est décroissante).
D'autre part, on peut écrire :
$$\mathrm d(\phi_1)=-\sin(x)\mathrm dx\Rightarrow \mathrm d(\phi_1)=-\sqrt{1-(\phi_1)^2}\mathrm dx\Rightarrow
\mathrm dx = - \dfrac{\mathrm d\phi_1}{\sqrt{1-(\phi_1)^2}}$$
$$W_n=\int_{0}^{1}\dfrac{(\phi_1)^n}{\sqrt{1-(\phi_1)^2}}\mathrm d\phi_1$$
Considérons maintenant $X_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^n(x)\mathrm dx$ et l'application :
$$\phi_2(x):\begin{cases} [0;\frac{\pi}{2}]&\mapsto [0,1]\\
x&\mapsto \sin(x)
\end{cases}$$
Il s'agit de même d'une application continue, différentiable et bijective. On peut donc appliquer le théorème du changement
de variable, et par une procédure similaire, on a : $\phi_2(0)=0$, $\phi_2(\pi/2)=1$ et d'autre part :
$$\sin^n(x)\mathrm dx = \dfrac{(\phi_2)^n}{1-(\phi_{2})^2}\mathrm d\phi_2\Rightarrow X_n=\int_{0}^{1}\dfrac{(\phi_2)^n}{\sqrt{1-(\phi_2)^2}}\mathrm d\phi_2$$
On a donc montré que :
$$\int_{0}^{\pi/2}\cos^n(x)\mathrm d x=\int_{0}^{\pi/2}\sin^n(x)\mathrm dx$$
Correction
Foin de tout cet attirail, on peut également poser $u=\dfrac{\pi}{2}-x$, et on peut réécrire $W_n$ :
$$
W_n=-\int_{\pi/2}^{0}\cos^n(\dfrac{\pi}{2}-u)\mathrm d u=\int_{0}^{\pi/2}\sin^n(u)\mathrm du
$$
D'où le résultat.

b) On considère la fonction $f_n$ pour un entier $n\geq 0$, sur $I=[0;\pi/2]$, qui est : $f_n:x\mapsto \cos^n(x)$.
Ayant par définition, pour tout $x\in I$ :
$$0\leq \cos(x)\leq 1$$
Correction
Donc
$$0\leq\cos^{n}(x)\leq \cos^{n+1}(x)\leq 1$$
ce qui équivaut à :
$$ 0\leq {f_{n+1}(x)}\leq{f_{n}(x)}\leq 1$$
D'où le résultat : $W_{n+1}\leq W_{n}$, la suite est décroissante (si une fonction $f$ majore une autre fonction $g$ sur un intervalle donné, alors l'intégrale de $f$ sur cet intervalle majore l'intégrale de $g$ sur cet intervalle).

Supposons maintenant que il existe un $n$ tel que $W_{n+1}=W_{n}$. Comme d'une part ${f_{n+1}(x)}\leq{f_{n}(x)}$ pour $x\in I$, on a $W_{n+1}=W_{n}$ si et seulement si $f_{n+1}(x)=f_{n}(x)\Leftrightarrow{\cos(x)}=1\textrm{ ou }\cos(x)=0$ pour tout $x\in I$, d'où la contradiction.

c) L'intégrale $W_n$ est bien définie pour tout $n\geq 0$. Les fonctions $\cos$, $\sin$, $\cos^n$ et $\sin^n$ sont
bien définies sur $I$ et dérivables en tout point de de $I$. On peut donc appliquer le théorème du changement de variable, en posant :
$$\begin{cases}
u(x)=\cos^{n+1}(x) & \mathrm du(x)=-(n+1)\sin(x)\cos^{n}(x)\mathrm dx \\
v(x)=\sin(x) & \mathrm dv(x) = \cos(x)\mathrm dx
\end{cases}$$
D'où l'on peut réécrire $W_{n+2}$ :
$$W_{n+2}=\int u(x)\mathrm dv(x)=[u(x)v(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(x)\cos^{n}(x)\mathrm dx$$
Utilisant la propriété fort utile des fonctions trigonométriques $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, nous en déduisons le résultat suivant :
$$W_{n+2}=(n+1)W_{n}-(n+1)W_{n+2}$$
$$\textrm{D'où : }\boxed{W_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}W_n}$$

d) Supposons que $n$ est un entier pair. Alors on peut réécrire $n=2p$ pour $p\in\mathbb{N}$. On sait que $W_{0}=\dfrac{\pi}{2}$. On en déduit immédiatement, en vertu de la formule précédente, $W_2=\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}$, $W_4=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot W_{0}$, $W_6=\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot W_0$, etc.
On peut réécrire ce résultat comme suit : $W_{2p}=W_{0}\times \dfrac{(2p-1)!!}{(2p)!!}$. Différentes formules d'équivalence et un raisonnement similaire permettent d'arriver au résultat suivant :
$$\begin{cases}
W_{2p}&=\dfrac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\dfrac{\pi}{2}\\
\\
W_{2p+1}&=\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}
\end{cases}
$$

e) Effectuant le produit direct de $W_{2p}$ et $W_{2p+1}$, on obtient le résultat suivant :
$$\boxed{W_{2p}W_{2p+1}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1}{2p+1}}$$
La formule $W_nW_{n+1}=\dfrac{\pi}{2(n+1)}$ est donc vérifiée pour $n$ un entier pair.

Supposons que $n$ est impair à présent en posant $n=2p+1,p\geq 0$.
Calculons $W_{2p+1}W_{2p+2}$. On sait que $W_{2p+2}=\dfrac{2p+1}{2p+2}W_{2p}$, donc on a :
$$W_{2p+1}W_{2p+2}=W_{2p}W_{2p+1}\dfrac{2p+1}{2p+2}$$
D'après le résultat précédent, on obtient immédiatement :
$$\boxed{W_{2p+1}W_{2p+2}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1}{2p+2}}$$
La formule $W_nW_{n+1}=\dfrac{\pi}{2(n+1)}$ est donc vérifiée pour $n$ un entier impair.
Elle est donc vérifiée pour tout $n\in\mathbb{N}$.

f) On a montré que $(W_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite strictement décroissante. D'autre
part $W_{n}>0$ d'après la définition explicite de cette suite.
Donc $W_{n+2}<W_{n+1}<W_{n}$. Divisant tous les membres de cette inégalité par $W_{n}$, on obtient :
$\dfrac{W_{n+2}}{W_{n}}<\dfrac{W_{n+1}}{W_n}<1$ soit :
$$\boxed{\dfrac{n+1}{n+2}<\dfrac{W_{n+1}}{W_n}<1}$$
Comme :
$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n+2}=1$, on en déduit :
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{W_{n+1}}{W_n}=1$$
d'où l'équivalence : $\boxed{W_{n}\,{\sim_n}W_{n+1}}$.
g)
Multipliant tous les membres de l'inégalité précédente par $W_nW_{n+1}$, on obtient :
$$(W_{n+2}W_{n+1})<W_{n+1}W_{n+1}<(W_{n}W_{n+1})$$
Soit :
$$\dfrac{\pi}{2(n+2)}<(W_{n+1})^2<\dfrac{\pi}{2(n+1)}$$
D'où le résultat lorsque $n$ est suffisament grand :
$$\boxed{W_{n}\,{\sim_n} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\textrm{ et }\lim_{n\to\infty}W_{n}=0}$$.
Correction
On a montré que $W_n\,\sim_{n}W_{n+1}$ et que $W_{n+1}W_{n}=\dfrac{\pi}{2(n+1)}$. Comme $W_{n}\,\sim_{n}W_{n+1}$, on a par composition $W_{n}W_{n+1}\,\sim_{n}(W_{n+1})^2$. Un équivalent de $(W_{n+1})^2$ est donc $\dfrac{\pi}{2(n+1)}$ pour $n$ suffisament grand. D'où le résultat : $$\boxed{W_{n}\,{\sim_n} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}\textrm{ et }\boxed{\lim_{n\to\infty}W_{n}=0}$$