Concept de fonction intégrable.

Je m'intéresse à l'intégration et en effet sur ce forum j'ai eu la même remarque http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1128653,1128665#msg-1128665 .

Il faut savoir que le bon sens nous dit aussi que intégrable = on peut calculer l'aire sous la courbe, sauf que ce n'est pas ça que veut dire intégrable pour les matheux d'ici (et d'ailleurs) ! http://serge.mehl.free.fr/anx/int_lebesgue.html

Problème : l'intégrale de Lebesgue n'est pas au programme de CPGE, seulement de L3, et c'est un gros saut conceptuel il me semble... Il y a plein de notions à maîtriser pour pouvoir aborder sereinement l'intégrale de Lebesgue...

Quelle définition ? Si ça peut te rassurer, on a toujours
$$\int_{I}|f(x)|\mathrm dx\geq\int_{I}f(x)\mathrm dx$$

remarque a écrit:

Ses propriétés étant infiniment meilleures que celles de l'intégrale de Riemann et celles des intégrales généralisées que ces deux dernières notions finissent par ne plus jouer qu'un rôle accessoire.

À chaque fois que j'entends parler de tribu borélienne, je pense à ça :

http://multimedia.pol.dk/archive/00824/Kul_Tintin01_824831a.jpg

Du coup, je n'ai toujours pas compris ce que c'est que l'intégrale de Lebesgue. C'est super abstrait comme machin, et c'est à peine abordé en L3. Du coup je me demande si ce n'est pas le plus difficile saut conceptuel des maths pour tout étudiant de licence... Et vu les notions nécessaires pour ne serait-ce qu'envisager de comprendre l'intégrale de Lebesgue, cela me semble un challenge pédagogique de l'enseigner.

PS : y a-t-il un lien avec la théorie des distributions ?

Un des problèmes est qu'il y a dans les esprits une confusion entre intégrale de Riemann et intégrale généralisée.

Ni $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \ dt$ ni $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \ dt$ ne sont des intégrales de Riemann:
on les définit comme les limites de
$\int_0^{M} \frac{\sin t}{t} \ dt$ ni $\int_0^{M} \frac{1}{1+t^2} \ dt$, qui sont, elles, des intégrales de Riemann.

Les anciens programmes de CPGE ne faisaient pas vraiment la différence entre ces deux limites.
Les notions d'intégrales semi-convergentes ou absolument convergentes n'étaient que deux sous-cas d'un même phénomène de passage à la limite.

L'intégrale de Lebesgue procède différemment: elle sait directement donner un sens à $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \ dt$ sans passer par le truchement de $\int_0^{M} \frac{1}{1+t^2} \ dt$ car $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ est intégrable.

Evidemment, il y a un problème pédagogique car on a importé dans le programme de CPGE un vocabulaire qui trouve sa justification dans une théorie qui n'y est pas enseignée.

albertine écrivait:

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> Du coup, je n'ai toujours pas compris ce que c'est
> que l'intégrale de Lebesgue. C'est super abstrait
> comme machin, et c'est à peine abordé en L3.

Durant ma L3 j'ai eu un cours très complet construisant l'intégrale de Lebesgue. C'est certes assez abstrait, mais les avantages sont énormes. Pour construire de manière rigoureuse l'intégrale de Riemann il y a aussi pas mal d'abstraction l'air de rien. Le concept intuitif d'intégrale qu'on voit en Terminale est ce qu'on utilise la plupart du temps, mais à partir du moment où on veut des fondements rigoureux ça se complique forcément.

Si je considère (pour faire simple) une fonction continue de $\R_+$ dans $\R$ alors :

1) Pour tout réel $a \ge 0$, je peux considérer l'intégrale de Riemann ou l'intégrale de Lebesgue de $f$ sur $[0,a]$. Les deux sont bien définies et sont égales. Je les note $\int_0^a f$.

2) Je peux maintenant me demander si la limite suivante existe :
$$
\lim_{a \to \infty} \int_0^a f.
$$
Son existence et la valeur éventuelle de la limite ne dépendent pas du cadre (Riemann ou Lebesgue) étant donné que dans les deux cadres la valeur de $\int_0^a f$ est la même.

La seule différence est que, dans certains exposés sur l'intégrale de Riemann, on appelle parfois cette limite l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ et on la note $\int_0^\infty$. Je ne fais peut-être que redire des choses déjà dites.

3) Sur l'intérêt de l'intégrabilité. Tu sais peut-être par exemple que si une série n'est que semi-convergente (la suite des sommes partielles converge mais la suite des sommes partielles des valeurs absolues ne converge pas) alors, quitte à réordonner ses termes, on peut faire tendre la suite des sommes partielles vers n'importe quel réel. Le même phénomène existe pour les intégrales semi-convergentes.

4) La théorie de Lebesgue est beaucoup plus simple que la théorie de Riemann (c'est mon point de vue). On construit l'intégrale et on prouve les théorèmes de convergence monotone et dominée en quelques pages (denses). Ce qui est très délicat dans le cadre de Lebesgue c'est la construction des mesures (en particulier la construction de la mesure de Lebesgue sur $\R$). Je ne sais pas pourquoi beaucoup de personnes s'effraient devant la théorie de Lebesgue. Peut-être ne l'ont-ils jamais réellement étudié... ou peut-être n'ont-ils jamais eu un exposé complet de la théorie de Riemann !

Edit : je me suis fait grillé et je note qu'il y a beaucoup de redite dans mon message. Désolé.