Application du théorème de point fixe

stikawi · August 2015

Bonjour,

Je voulais savoir si quelqu'un connait ou a déjà rencontré dans ses lectures une [size=medium]application[/size] du théorème de point fixe dite de Caristi. J'ai besoin d'une application concrète, par exemple la résolution des équations différentielles ou la recherche d'une solution d'un problème variationnel à l'aide de ce théorème, comme dans le cas du théorème de Schauder où on l'utilise pour montrer l’existence d'une solution d'un système aux dérivées partielles.

Merci.

gebrane · August 2015

Le théorème du point fixe de Caristi est un cas particulier des applications faiblement contractantes.

stikawi · August 2015

Bonsoir,

Je pense que c'est l'inverse, car si on prends la fonction semi continue inférieure f définie par f(x)=(1-k)^-1d(x,Tx) dans le théorème de Caristi où T est l'application qui a un point fixe on trouve la notion "d'application faiblement contractante" pour T.

gebrane · August 2015

Salut

si on prends la fonction semi continue inférieure f définie par f(x)=(1-k)-1d(x,Tx)

Tu prétends que x--->d(x,Tx) est semi continue inférieurement si T est faiblement contractante?

stikawi · August 2015

Salut,

Non pas du tout, j'ai dis sci pour citer f du théorème. Ce que je veux dire, d’après seulement l’inégalité de Caristi avec le choix de f comme ci-dessus on trouve la notion que tu a mentionné. Mais je ne vois pas comment Caristi serait un cas particulier de la notion faiblement contractante

gebrane · August 2015

Alors je me suis mal exprimé,
lorsque f est une contraction (donc continue) le théorème de Caristi s'applique et offre une belle démonstration de l'existence d'un point fixe en prenant la constrution que tu as donné.
lorsque f est une contration faible et x---->d(x,f'(x)) est sci le theoreme de Caristi s'applique aussi
mais si tu prend une contraction faible quelconque tu peux avoir un point fixe sans que l’hypothèse de Caristi soit satisfaite.