Intégrale géné cachée dans autre intégrale

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Analyse
Bonjour

Dans le calcul d'une intégrale I, qui est soit usuelle soit généralisée convergente, j'effectue un changement de variable, duquel surgit une intégrale I' généralisée.

En pareil cas, est-il nécessaire de prouver la convergence de I' ?

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Ta question est un peu étrange.
    Ton "changement de variable", c'est bien l'application d'un théorème, qui a des hypothèses.
    Enoncer le théorème lèvera les incertitudes.
  • Dom
    Dom
    En effet, selon le théorème utilisé, le changement de variable doit être "bien bien régulier" et "bien particulier".
    Bonne recherche (des théorèmes possibles) ;-)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    si le changement de variable d'intégration est légitime (compte tenu des bornes de $I$) et pertinent

    la convergence de la seconde intégrale $I'$ est évidente

    mais tu peux vérifier directement cette convergence de $I'$

    ce qui ne pourra que conforter a posteriori ton changement de variable muette

    bonne journée
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Merci,

    J'aurais tendance à penser comme Jean Lismonde.

    J'ai posé cette question, car il me semble avoir lu dans un corrigé du CAPES 2014 de DJ Mercier que le susnommé vérifie la convergence de la nouvelle intégrale généralisée.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • aléa
    aléa
    Je ne sais pas si c'est le cas ici, mais quelqu'un nourri au biberon des intégrales généralisées peut être tenté de justifier la convergence de $\int_0^1 \sin(1/t)\ dt$ par changement de variable.
  • gebrane
    gebrane
    @alea
    le changement X=1/t n'est pas utile? si c'est le cas, je suis nourri au biberon des intégrales généralisées :-D
    Le 😄 Farceur


  • aléa
    aléa
    C'est correct, mais c'est le marteau-pilon pour écraser la mouche.

    L'essentiel est que $|\sin(1/t)|\le 1$. On peut le concrétiser à l'aide du critère de Cauchy si on est dans le cadre des intégrales impropres, mais dans un cadre "Lebesgue"-like, la mesurabilité et la majoration suffisent à justifier la convergence.
  • Dom
    Dom
    En un certain sens, la réponse "si c'est légitime" est la même que "cela est vrai si on se place bien dans les conditions du théorème utilisé". Non ?
  • gebrane
    gebrane
    @alea


    $$\int_0^1 \sin(1/t)\ dt=\int_1^{+\infty} \frac {\sin(X)}{X^2}\ dX$$
    J'ai écrasé la mouche en disant que la deuxième intégrale est absolument convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente
    Vois tu du marteau pilon dans cela?
    Le 😄 Farceur


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