Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Intégrale géné cachée dans autre intégrale
dans Analyse
Bonjour
Dans le calcul d'une intégrale I, qui est soit usuelle soit généralisée convergente, j'effectue un changement de variable, duquel surgit une intégrale I' généralisée.
En pareil cas, est-il nécessaire de prouver la convergence de I' ?
A+
Dans le calcul d'une intégrale I, qui est soit usuelle soit généralisée convergente, j'effectue un changement de variable, duquel surgit une intégrale I' généralisée.
En pareil cas, est-il nécessaire de prouver la convergence de I' ?
A+
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Réponses
Ton "changement de variable", c'est bien l'application d'un théorème, qui a des hypothèses.
Enoncer le théorème lèvera les incertitudes.
Bonne recherche (des théorèmes possibles) ;-)
si le changement de variable d'intégration est légitime (compte tenu des bornes de $I$) et pertinent
la convergence de la seconde intégrale $I'$ est évidente
mais tu peux vérifier directement cette convergence de $I'$
ce qui ne pourra que conforter a posteriori ton changement de variable muette
bonne journée
J'aurais tendance à penser comme Jean Lismonde.
J'ai posé cette question, car il me semble avoir lu dans un corrigé du CAPES 2014 de DJ Mercier que le susnommé vérifie la convergence de la nouvelle intégrale généralisée.
A+
le changement X=1/t n'est pas utile? si c'est le cas, je suis nourri au biberon des intégrales généralisées :-D
L'essentiel est que $|\sin(1/t)|\le 1$. On peut le concrétiser à l'aide du critère de Cauchy si on est dans le cadre des intégrales impropres, mais dans un cadre "Lebesgue"-like, la mesurabilité et la majoration suffisent à justifier la convergence.
$$\int_0^1 \sin(1/t)\ dt=\int_1^{+\infty} \frac {\sin(X)}{X^2}\ dX$$
J'ai écrasé la mouche en disant que la deuxième intégrale est absolument convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente
Vois tu du marteau pilon dans cela?