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Intégrale géné cachée dans autre intégrale

Envoyé par Piteux_gore 
Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
Bonjour

Dans le calcul d'une intégrale I, qui est soit usuelle soit généralisée convergente, j'effectue un changement de variable, duquel surgit une intégrale I' généralisée.

En pareil cas, est-il nécessaire de prouver la convergence de I' ?

A+



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale géné cachée dans une autre intégral
il y a quatre années
avatar
Ta question est un peu étrange.
Ton "changement de variable", c'est bien l'application d'un théorème, qui a des hypothèses.
Enoncer le théorème lèvera les incertitudes.
Dom
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
En effet, selon le théorème utilisé, le changement de variable doit être "bien bien régulier" et "bien particulier".
Bonne recherche (des théorèmes possibles) winking smiley
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
bonjour

si le changement de variable d'intégration est légitime (compte tenu des bornes de $I$) et pertinent

la convergence de la seconde intégrale $I'$ est évidente

mais tu peux vérifier directement cette convergence de $I'$

ce qui ne pourra que conforter a posteriori ton changement de variable muette

bonne journée
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
Merci,

J'aurais tendance à penser comme Jean Lismonde.

J'ai posé cette question, car il me semble avoir lu dans un corrigé du CAPES 2014 de DJ Mercier que le susnommé vérifie la convergence de la nouvelle intégrale généralisée.

A+
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
avatar
Je ne sais pas si c'est le cas ici, mais quelqu'un nourri au biberon des intégrales généralisées peut être tenté de justifier la convergence de $\int_0^1 \sin(1/t)\ dt$ par changement de variable.
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
avatar
@alea
le changement X=1/t n'est pas utile? si c'est le cas, je suis nourri au biberon des intégrales généralisées grinning smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
avatar
C'est correct, mais c'est le marteau-pilon pour écraser la mouche.

L'essentiel est que $|\sin(1/t)|\le 1$. On peut le concrétiser à l'aide du critère de Cauchy si on est dans le cadre des intégrales impropres, mais dans un cadre "Lebesgue"-like, la mesurabilité et la majoration suffisent à justifier la convergence.
Dom
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
En un certain sens, la réponse "si c'est légitime" est la même que "cela est vrai si on se place bien dans les conditions du théorème utilisé". Non ?
Re: Intégrale géné cachée dans autre intégrale
il y a quatre années
avatar
@alea


$$\int_0^1 \sin(1/t)\ dt=\int_1^{+\infty} \frac {\sin(X)}{X^2}\ dX$$
J'ai écrasé la mouche en disant que la deuxième intégrale est absolument convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente
Vois tu du marteau pilon dans cela?

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