Changement de variable

C'est bizarre de calculer $f(\alpha t)$ si $f$ est définie sur $\mathbb R$.

Bonjour,

Soit $\displaystyle F(\alpha) = \int_{\R} \mid f(\alpha t) \mid dt$ avec $f$ une fonction de $\C$ dans $\C$ et $\alpha$ dans $\C$.

On se demande la relation entre $\displaystyle F(\alpha)$ et $\displaystyle F(1)$ en supposant que ces intégrales existent.

Pour $\displaystyle \alpha=0$, il faut nécessairement $\displaystyle f(0)=0$ et alors $\displaystyle F(0)=0$ tandis que $\displaystyle F(1)$ peut être quelconque, une relation est $\displaystyle F(0) = 0 \times F(1).$

Pour $\displaystyle \alpha \neq 0$ :

On a un cas particulier facile à traiter : $\displaystyle f(t) = g(\mid t \mid).$

Alors, après un changement de variable $\displaystyle u= \mid \alpha \mid t$ on a $\displaystyle F(\alpha) = \frac{1}{\mid \alpha \mid} F(1).$

Mais, dans un autre cas relativement facile, $\displaystyle f(t) = {1 \over 1+t^2}$ et $\alpha = \rho e^{i \theta}$ alors, après quelques calculs techniques (à vérifier), on trouve :
$\displaystyle F(\rho e^{i \theta}) = {1 \over 2 \rho \cos \theta} F(1), \quad \cos \theta \neq 0.$

ou encore $\displaystyle F(\alpha) = {1 \over 2 \Re(\alpha)}F(1).$

Une forme générale de relation entre $F(\alpha)$ et $F(1)$ est très certainement hors d'approche car la relation dépend de la forme de $f$.