Une note sur les distributions tempérées

La note jointe est le produit d’une « discussion » qui eut lieu brièvement sur ce forum et liée à une question banale relative aux distributions tempérées ; il s’agissait de montrer que la fonction $f(x) = \exp x$ ne définit pas une distribution tempérée et l’une des preuves consistait à tester contre la fonction $\exp-x$ convenablement modifiée à l’origine pour une faire une fonction de $S$ ; bien évidemment cette preuve utilisait la forme intégrale d’une distribution tempérée, ce qui souleva des objections de la part d’un contributeur connu du Forum ; ces objections me surprirent mais elles posaient néanmoins une question intéressante que je mis quelque temps à élucider ; les mois d’été passèrent en me donnant l’occasion d’y songer sérieusement de temps en temps .
C’est l’objet de la note. Il ne s’agit pas de polémiquer mais de clore une question mathématique qui eût dû l’être depuis longtemps ; comme je n’ai trouvé nulle part ce qui est exposé, il se peut que cela soit utile ; la note est trop longue pour être postée telle que et le fichier pdf est joint à cette fin.
L’auteur est d’avance reconnaissant à toutes ses lectrices et lecteurs éventuels pour la patience dont ils auront fait preuve pour se plonger dans ce papier. Toute remarque est la bienvenue OLIVIER GEBUHRER