nombre harmonique asymptotique
Réponses
-
Ça m'a l'air faux :
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^a = n^{a+1} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^a$. Or, $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^a$ tend vers $\displaystyle \int_0^1 x^a dx = \dfrac{1}{a+1}$ (somme de Riemann).
Donc $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^a \sim \dfrac{n^{a+1}}{a+1}$, puis $\displaystyle \dfrac{n^a}{\sum_{k=1}^n k^a} \sim \dfrac{a+1}{n}$.
En passant au $\ln$, on trouve que $ \displaystyle \ln\left[ \dfrac{n^a}{\sum_{k=1}^n k^a}\right] \sim -\ln(n)$. -
$$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^a
$$
est une somme de Riemann.
Edit : grillé par Guego. -
...et avec la formule d'Euler-MacLaurin, par exemple, on arrive assez vite à
$$\log \left ( \frac{n^a}{\sum_{k=1}^n k^a} \right) = - \log n + \log(a+1) - \frac{a+1}{2n} + O_a \left( \frac{1}{n^2} \right).$$ -
Merci à tous. J'essaye de finir mon dernier article puis je vais prendre ma retraite en maths.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres