convergence uniforme

salut à tous
je me pose la question suivante :
(fn) converge uniformément vers f dans ]0;1[ (ouvert)
1) si on suppose les fn ET f continues sur [0;1], on montre facilement que la cCV est uniforme sur [0;1] fermé.
2) si on ne suppose ni les fn continues ni f continue [0;1] il suffit de prendre des valeurs aléatoires pour les fn(0) et f(0) pour avoir une CV ni uniforme ni simple sur [0;1] fermé
3) si on ne suppose QUE les fn continues sur [0;1] et aucune supposition sur f, peut-on montrer quelque chose ? jai l'impression qu'il faut une equicontinuité mais je ne suis pas sûr.
merci
Vincent

A priori on ne peut rien conclure sans hypothèse supplémentaire ; il n'y a pas de raison pour qu'une suite de fonctions continues sur un ouvert et convergeant uniformément sur cet ouvert , converge en fait uniformément sur le fermé (même compact) ; d'abord il n'est pas clair que la fonction limite sur l'ouvert qui est nécessairement continue admette une limite au bord ; comme je suis pressé je n'ai pas de contre exemple sous la main mais d'autres en trouveront surement avant moi ; l'équicontinuité SUR le compact est une bonne idée ; c'est le théoréme d'Ascoli ; ensuite tu supposes les fonctions continues sur [0, 1] ; si on ajoute l'hypothése de la convergence simple sur [0, 1] ( ET convergence uniforme sur l'ouvert) , il n'est pas clair que la limite soit continue sur l'intervalle compact ; à plus tard si la question n'est pas résolue d'ici là

Sorry !:Bien qu'étant très pressé , une minute supplémentaire de réflexion dit ceci
Dire que la suite converge uniformément sur l'ouvert c'est dire que pour epsilonn fixé >0, les différences entre deux termes sont majorés en valeur absolue par epsilonn quel que soit x sur l'ouvert ; or les fonctions sont continues sur le compact et donc l'inégalité se prolonge aussitôt à l'adhérence del'ouvert c'est à dire sur [0,1] ; du coup pas besoin d'hypothése supplémentaire et pas de contreexemple évidemment ; il est rarrisime de voir une convergence uniforme sur un ouvert - sans doute pour cette raison - ; pourquoi se compliquer la vie ; si les fonctions de la suite n'éteient définies et continues que sur l'intervalle ouvert , ce serait tout à fait différent bien sur . J'espére n'avoir choqué personne avec une intuition fausse et trop rapide

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