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Équivalent d'une suite

Envoyé par Jacky9393 
Équivalent d'une suite
il y a quatre années
Bonjour,

Je considère la suite $u_0,u_1 >0$ et $u_{n+2}= \frac{2}{u_n+u_{n+1}}$.

On suppose connu que $u_n \to 1$

Peut-on donner un équivalent de $u_n-1$ ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Jacky9393.
Re: Equivalent d'une suite
il y a quatre années
avatar
Si tu prends $u_0=u_1=1$ sauf erreur, la suite est constante et pour tout $n$ , $u_n=1$ et ton inégalité n'est pas satisfaite.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Equivalent d'une suite
il y a quatre années
Hormis ce cas là, et le fait que pour $n$ petit ce que je demande est très faux en général ?
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
J'ai une méthode pour montrer que la convergence vers $1$ est exponentielle. On écrit $U_n=(u_{n},u_{n+1})$ et alors $U_{n+1}=f(U_n)$ avec $f: (x,y) \mapsto \left( y, \frac{2}{x+y} \right)$ et alors la matrice $df(1,1)$ est de rayon spectral égal à $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Cela assure que l'on a $|a_n-1| \le C (1/\sqrt{2} + \varepsilon)^n$ pour tout $n$ et $\varepsilon >0$ avec $C$ qui dépend de $\varepsilon$ et des deux premiers termes de la suite.

Maintenant ce que je veux c'est véritablement un équivalent de $a_n:=u_n-1$, et pour cela, on peut écrire :
\[a_{n+2} = -\frac{a_n+a_{n+1}}{2+a_n+a_{n+1}} \approx -\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \] et donc le polynôme caractéristique de cette récurrence est $X^2+X/2+1/2$ et l'on trouve que le comportement asymptotique est en : \[a_n \approx C_1 \frac{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}{2^{n/2}} \] avec $C_1,C_2$ dépendant des conditions initiales.
J'ai tenté de considérer la suite $w_n=\frac{2^{n/2} a_n}{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}$ et essayer de montrer que pour une valeur de $C_2$, $w_n$ converge, mais sans succès ...

Tout ce que j'ai c'est $w_n=O(1)$.
Pourtant il se trouve que numériquement les résultats collent bien avec l'équivalent souhaité ! C'est très frustrant !

Cela vous paraît-t-il impossible à prouver ? Si vous avez des idées dites moi ce à quoi vous penser.
En particulier JLT semble très fort sur ce genre de questions spinning smiley sticking its tongue out J'espère qu'il verra ce post !

Bonne journée,



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Jacky9393.
Dom
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
Bonjour,

Je ne garantis rien mais je ne comprends pas grand chose non plus : peut-être y a-t-il conflit de notation.

Message original : $u_{n+2}= \frac{2}{u_n+u_{n+1}}$

Message précédent : $u_{n+2} = -\frac{u_n+u_{n+1}}{2+u_n+u_{n+1}} \approx -\frac{u_n+u_{n+1}}{2}$

Mais je n'ai peut-être pas les yeux au bon endroit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
avatar
Cher Jacky,

En explicitant l'approximation $\approx$ sous la forme $= \dots + O(\dots)$ il me semble qu'on arrive à
à
$$
C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n})
$$
avec $\theta$ un argument de $-\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{7}}{4}$. Ce n'est pas un équivalent, mais ce n'est pas si mal.

Citation
Jacky
En particulier JLT semble très fort sur ce genre de questions
Je crois que tu peux te passer de « sur ce genre de questions ».
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
Effectivement, j'ai corrigé les erreurs, $u_n$ est la suite de départ et $a_n=u_n-1$ est la suite centrée.
Dans tous les cas le problème est compliqué je pense que je ne m'avance pas trop en disant cela ...
Effectivement Siméon tu as raison, mais je subodore quand même que c'est ce terme qui doit être l'équivalent !
JLT
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
avatar
Juste pour dire que je n'ai pas mieux que Siméon. Voici quelques détails. On a
$$a_{n+2}=-1+\big(1+\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\big)^{-1}=-\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}+x_n$$
où $x_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.

Posons $\alpha_n=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\lambda^{-(k+1)}-(\bar{\lambda})^{-(k+1)}}{\bar{\lambda}-\lambda}x_{n+k}$, où $\lambda=-\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{7}}{4}$. On a
$\alpha_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.

Alors $\alpha_{n+2}=-\dfrac{\alpha_n+\alpha_{n+1}}{2}+x_n$, donc $b_n:=a_n-\alpha_n$ vérifie la relation de récurrence $b_{n+2}=-\dfrac{b_n+b_{n+1}}{2}$. On en déduit que
$$b_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2}$$
pour certaines constantes $C_1$ et $C_2$, donc déjà $a_n=O(2^{-n/2})$, puis $x_n=O(2^{-n})$, puis $\alpha_n=O(2^{-n})$. Finalement,
$$a_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n}).$$
Re: Équivalent d'une suite
il y a quatre années
C'est déjà beaucoup ! Merci JLT ! A vrai dire je ne pense pas qu'on puisse obtenir quelque chose de plus précis, à moins que tu aie des idées. L'équivalent semble mort à cause de cosinus hélàs, mais c'est pas très important vu le terme d'erreur !
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