J'ai une méthode pour montrer que la convergence vers $1$ est exponentielle. On écrit $U_n=(u_{n},u_{n+1})$ et alors $U_{n+1}=f(U_n)$ avec $f: (x,y) \mapsto \left( y, \frac{2}{x+y} \right)$ et alors la matrice $df(1,1)$ est de rayon spectral égal à $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Cela assure que l'on a $|a_n-1| \le C (1/\sqrt{2} + \varepsilon)^n$ pour tout $n$ et $\varepsilon >0$ avec $C$ qui dépend de $\varepsilon$ et des deux premiers termes de la suite.
Maintenant ce que je veux c'est véritablement un équivalent de $a_n:=u_n-1$, et pour cela, on peut écrire :
\[a_{n+2} = -\frac{a_n+a_{n+1}}{2+a_n+a_{n+1}} \approx -\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \] et donc le polynôme caractéristique de cette récurrence est $X^2+X/2+1/2$ et l'on trouve que le comportement asymptotique est en : \[a_n \approx C_1 \frac{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}{2^{n/2}} \] avec $C_1,C_2$ dépendant des conditions initiales.
J'ai tenté de considérer la suite $w_n=\frac{2^{n/2} a_n}{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}$ et essayer de montrer que pour une valeur de $C_2$, $w_n$ converge, mais sans succès ...
Tout ce que j'ai c'est $w_n=O(1)$.
Pourtant il se trouve que numériquement les résultats collent bien avec l'équivalent souhaité ! C'est très frustrant !
Cela vous paraît-t-il impossible à prouver ? Si vous avez des idées dites moi ce à quoi vous penser.
En particulier JLT semble très fort sur ce genre de questions (:P) J'espère qu'il verra ce post !
En explicitant l'approximation $\approx$ sous la forme $= \dots + O(\dots)$ il me semble qu'on arrive à
à
$$
C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n})
$$
avec $\theta$ un argument de $-\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{7}}{4}$. Ce n'est pas un équivalent, mais ce n'est pas si mal.
Effectivement, j'ai corrigé les erreurs, $u_n$ est la suite de départ et $a_n=u_n-1$ est la suite centrée.
Dans tous les cas le problème est compliqué je pense que je ne m'avance pas trop en disant cela ...
Effectivement Siméon tu as raison, mais je subodore quand même que c'est ce terme qui doit être l'équivalent !
Juste pour dire que je n'ai pas mieux que Siméon. Voici quelques détails. On a
$$a_{n+2}=-1+\big(1+\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\big)^{-1}=-\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}+x_n$$
où $x_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.
Posons $\alpha_n=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\lambda^{-(k+1)}-(\bar{\lambda})^{-(k+1)}}{\bar{\lambda}-\lambda}x_{n+k}$, où $\lambda=-\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{7}}{4}$. On a
$\alpha_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.
Alors $\alpha_{n+2}=-\dfrac{\alpha_n+\alpha_{n+1}}{2}+x_n$, donc $b_n:=a_n-\alpha_n$ vérifie la relation de récurrence $b_{n+2}=-\dfrac{b_n+b_{n+1}}{2}$. On en déduit que
$$b_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2}$$
pour certaines constantes $C_1$ et $C_2$, donc déjà $a_n=O(2^{-n/2})$, puis $x_n=O(2^{-n})$, puis $\alpha_n=O(2^{-n})$. Finalement,
$$a_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n}).$$
C'est déjà beaucoup ! Merci JLT ! A vrai dire je ne pense pas qu'on puisse obtenir quelque chose de plus précis, à moins que tu aie des idées. L'équivalent semble mort à cause de cosinus hélàs, mais c'est pas très important vu le terme d'erreur !
Réponses
Cela assure que l'on a $|a_n-1| \le C (1/\sqrt{2} + \varepsilon)^n$ pour tout $n$ et $\varepsilon >0$ avec $C$ qui dépend de $\varepsilon$ et des deux premiers termes de la suite.
Maintenant ce que je veux c'est véritablement un équivalent de $a_n:=u_n-1$, et pour cela, on peut écrire :
\[a_{n+2} = -\frac{a_n+a_{n+1}}{2+a_n+a_{n+1}} \approx -\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \] et donc le polynôme caractéristique de cette récurrence est $X^2+X/2+1/2$ et l'on trouve que le comportement asymptotique est en : \[a_n \approx C_1 \frac{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}{2^{n/2}} \] avec $C_1,C_2$ dépendant des conditions initiales.
J'ai tenté de considérer la suite $w_n=\frac{2^{n/2} a_n}{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}$ et essayer de montrer que pour une valeur de $C_2$, $w_n$ converge, mais sans succès ...
Tout ce que j'ai c'est $w_n=O(1)$.
Pourtant il se trouve que numériquement les résultats collent bien avec l'équivalent souhaité ! C'est très frustrant !
Cela vous paraît-t-il impossible à prouver ? Si vous avez des idées dites moi ce à quoi vous penser.
En particulier JLT semble très fort sur ce genre de questions (:P) J'espère qu'il verra ce post !
Bonne journée,
Je ne garantis rien mais je ne comprends pas grand chose non plus : peut-être y a-t-il conflit de notation.
Message original : $u_{n+2}= \frac{2}{u_n+u_{n+1}}$
Message précédent : $u_{n+2} = -\frac{u_n+u_{n+1}}{2+u_n+u_{n+1}} \approx -\frac{u_n+u_{n+1}}{2}$
Mais je n'ai peut-être pas les yeux au bon endroit.
En explicitant l'approximation $\approx$ sous la forme $= \dots + O(\dots)$ il me semble qu'on arrive à
à
$$
C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n})
$$
avec $\theta$ un argument de $-\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{7}}{4}$. Ce n'est pas un équivalent, mais ce n'est pas si mal.
Je crois que tu peux te passer de « sur ce genre de questions ».
Dans tous les cas le problème est compliqué je pense que je ne m'avance pas trop en disant cela ...
Effectivement Siméon tu as raison, mais je subodore quand même que c'est ce terme qui doit être l'équivalent !
$$a_{n+2}=-1+\big(1+\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\big)^{-1}=-\dfrac{a_n+a_{n+1}}{2}+x_n$$
où $x_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.
Posons $\alpha_n=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\lambda^{-(k+1)}-(\bar{\lambda})^{-(k+1)}}{\bar{\lambda}-\lambda}x_{n+k}$, où $\lambda=-\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{7}}{4}$. On a
$\alpha_n=O((1/2+\epsilon)^n)$.
Alors $\alpha_{n+2}=-\dfrac{\alpha_n+\alpha_{n+1}}{2}+x_n$, donc $b_n:=a_n-\alpha_n$ vérifie la relation de récurrence $b_{n+2}=-\dfrac{b_n+b_{n+1}}{2}$. On en déduit que
$$b_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2}$$
pour certaines constantes $C_1$ et $C_2$, donc déjà $a_n=O(2^{-n/2})$, puis $x_n=O(2^{-n})$, puis $\alpha_n=O(2^{-n})$. Finalement,
$$a_n=C_1 \cos(\theta n + C_2) 2^{-n/2} + O(2^{-n}).$$