Équivalent d'une suite

J'ai une méthode pour montrer que la convergence vers $1$ est exponentielle. On écrit $U_n=(u_{n},u_{n+1})$ et alors $U_{n+1}=f(U_n)$ avec $f: (x,y) \mapsto \left( y, \frac{2}{x+y} \right)$ et alors la matrice $df(1,1)$ est de rayon spectral égal à $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Cela assure que l'on a $|a_n-1| \le C (1/\sqrt{2} + \varepsilon)^n$ pour tout $n$ et $\varepsilon >0$ avec $C$ qui dépend de $\varepsilon$ et des deux premiers termes de la suite.

Maintenant ce que je veux c'est véritablement un équivalent de $a_n:=u_n-1$, et pour cela, on peut écrire :
\[a_{n+2} = -\frac{a_n+a_{n+1}}{2+a_n+a_{n+1}} \approx -\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \] et donc le polynôme caractéristique de cette récurrence est $X^2+X/2+1/2$ et l'on trouve que le comportement asymptotique est en : \[a_n \approx C_1 \frac{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}{2^{n/2}} \] avec $C_1,C_2$ dépendant des conditions initiales.
J'ai tenté de considérer la suite $w_n=\frac{2^{n/2} a_n}{\cos \left((\frac{n}{2\sqrt{2}} + C_2 \right)}$ et essayer de montrer que pour une valeur de $C_2$, $w_n$ converge, mais sans succès ...

Tout ce que j'ai c'est $w_n=O(1)$.
Pourtant il se trouve que numériquement les résultats collent bien avec l'équivalent souhaité ! C'est très frustrant !

Cela vous paraît-t-il impossible à prouver ? Si vous avez des idées dites moi ce à quoi vous penser.
En particulier JLT semble très fort sur ce genre de questions (:P) J'espère qu'il verra ce post !

Bonne journée,