Graphes de deux fonctions coïncident

Que f=g ?

Bonjour,

Ne doit-on pas distinguer le cas où le graphe de $f$ est le même que celui de $g$ mais est parcouru plusieurs fois ? Par exemple, le graphe est le cercle unité. $f$ définie sur $[0, 2\pi]$. $g$ définie sur $\R$. $f$ n'est pas $g$ mais sa restriction sur une période. Dans mon exemple, $f$ est une fonction sur $\R^2$.

J'ai compris (comme un sous-entendu) qu'il s'agissait d'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Dans ce cas l'ensemble de ces graphes là est en bijection avec l'ensemble de ces fonctions.
C'est en ce sens que @christophe c dit que "c'est pareil".

Si on appelle graphe, par exemple, la représentation des courbes parametrées (j'ai en tête $\mathbb R^2$), alors la remarque de @YvesM est justifiée.

La sémantique ("graphe") et la précision des objets étudiées (quelles fonctions, de quoi dans quoi) est importante pour répondre rigoureusement.

Que l'on soit bien d'accord je mets en bijection les graphes de fonctions et les fonctions (de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$).

Et bien il faut savoir : pareil ou pas pareil ?

1) Un graphe de fonction est un ensemble de points (on est en géométrie !).
2) Une fonction n'est pas un ensemble de points. On la définit sans faire appel à un plan muni d'un repère.
(C'est ce que tu dis : la donnée de deux ensembles etc...).

C'est pourquoi je dis que "dire c'est pareil" est un abus de langage sauf à considérer une bijection (on pourrait dire "isomorphisme d'ensembles" pour faire plus savant).

Je ne prétends pas cependant annoncer une résultat profond mais c'est de cette façon que j'ai interprété la question du message original.

Ah ! La question initiale ne faisait pas état de plan ni de repère, d'où les différences d'interprétation du mot. Mais remarque vient de le dire.

Je recense les façons de s'exprimer car par exemple Jer a raison en théorie des catégories (et plus généralement chez certains algébristes). J'essaie d'être exhaustif. Remarque: dans le passé, il y avait eu un long fil (assez délirant) sur le sujet, mais apparemment, le forum est beaucoup plus calme en 2015.

$a$ est une fonction est une abréviation de $\forall x,y,z: $ si $(x,y)\in a$ et $(x,z)\in a$ alors $y=z$.

domaine de $a$ abrège $\{x\mid \exists y: (x,y) \in a\}$

codomaine de $a$ abrège $\{x\mid \exists y: (y,x)\in a \}$

domaine et codomaine de $a$ seront respectivement noté $dom(a)$ et $codom(a)$ dans la suite

$a$ est une fonction de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a)\subset b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une application de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a) = b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une surjection de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a) = b$ et $codom(a) = c$

$a$ est une fonction injective abrège $a$ est une fonction et $\forall x,y,z: $ si $(x,z)\in a$ et $(y,z)\in a$ alors $x=y$

$a$ est une bijection de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une application surjective de $b$ dans $c$ et $a$ est injective

Dans certains champs de l'algèbre, on a les écritures suivantes:

$a$ une fonction de $b$ dans $c$ devient $a$ est un triplet $(b,c,f)$ tel que $f$ est une fonction de $b$ dans $c$

$a$ une application de $b$ dans $c$ devient $a$ est un triplet $(b,c,f)$ tel que $f$ est une application de $b$ dans $c$

Ceci étant dû au fait qu'ils ont besoin de préciser l'ensemble de départ et d'arrivée. Avec ces redéfinitions, il faut faire attention, que pour une même $f$, les triplets $(a,b,f)$ et $(c,d,f)$ peuvent être différents. Ces champs ont besoin de les voir comme différents. Par exemple en théorie des catégories, la catégorie ens est celle dont les objets sont les ensembles et les flèches entre $E$ et $F$ sont les triplets $(E,F,f)$ où $f$ est une application de $E$ dans $F$.

Dans tous les cas, que ce soit en algèbre ou ailleurs, le graphe de $(E,F,f)$ (deuxième définition) est $f$ et le graphe de $f$ (première définition) est $f$.

Question: les catégorico-algébristes ont-ils raison ou tort? Cette question n'a pas de sens. Il y a des tas de situations où il est important de ne pas avoir à considérer "l'ensemble de départ" et "l'ensemble d'arrivée" (tout simplement parce qu'on ne le connait pas et qu'il est par exemple à découvrir, etc). Dans d'autres cas, on en a besoin (ces derniers cas, catégories mises à part, étant essentiellement pour des raisons "pédagogiques" (au sens non péjoratif, ie au sens où on veut raccourcir tout en restant précis un énoncé d'examen, etc)).

Bonne nouvelle: dans presque tous les livres, le contexte est clair quant à la terminologie utilisée.

Remarque: si $f$ est une fonction et $x\in dom(f)$ alors $f(x)$ désigne l'unique $y$ tel que $(x,y)\in f$

En fait, j'aurais pu écrire $a$ est une injection, au lieu d'écrire $a$ est une fonction injective.

Dans le cas $a$ est surjective, la phrase n'a pas de sens sans préciser de quoi dans quoi ($a$ est toujours une surjection de son domaine sur son codomaine). Alors que $a$ est injective a un sens tel quel. C'est tout.

En résumé: injection synonyme de fonction injective, surjection synonyme de fonction surjective, bijection synonyme de fonction bijective, et on est une bijection de quelque chose dans quelque chose (idem pour surjection), alors qu'on peut être une injection tout court.

On peut remplacer "fonction" par "application", en général, les gens comprennent avec le contexte ou demandent des précisions.

Je ne comprends pas ta question: si $f\subset \R^2$ est une fonction, la courbe de $f$ dans le repère $Toto$ est l'ensemble des points $M$ tels que $(x_M,y_M)\in f$, où $x_M$ abrège abscisse de $M$ dans le repère Toto (idem avec $y_M$)

Si tu veux définir directement ce qu'est une courbe de fonction (pour les fonctions incluses dans $\R^2$), tu peux tout à fait dire que c'est un ensemble de points qui ne contient pas deux points différents ayant la même abscisse.

Au lycée, les points, c'est de la physique, pas des maths (même si c'est le prof de maths qui en parlent), par exemple la notion de repère orthonormé n'est pas définie mathématiquement au lycée (elle l'est physiquement). En maths "officielles", il n'y a pas de "plan", "espace", etc autres que donnés comme ensembles avec toutes les hypothèses qu'il faut ou définies comme étant $\R^2$ ou $\R^3$.

C'est assez effrayant...
Les triangles, carrés... n'existent pas ?
Les droites ne sont que des espaces affines de dimension 1 ?

C'est-à-dire qu'au vu de ce qu'on sait en physique (aujourd'hui, i.e avec la mécanique quantique et la relativité), aucun objet naturel n'est susceptible de jouer rigoureusement le rôle de segment.
Donc comment sanctionner l'élève *au nom de ladite rigueur* sur ces sujets.

@samok, je ne sais vraiment ce qui te permet d'affirmer

montrer que le formalisme avec la théorie des ensembles par exemple tend à effacer la notion d'idée

C'est complètement gratuit (et assez manifestement faux).

J'ajoute que cette histoire de mensonges aux enfants

Mais foys a raison: on ment pas mal aux enfants dans l'enseignement secondaire, aussi bien classique qu'actuel (actuellement la situation est très grave, donc je passe, mais même depuis longtemps, la pédagogie (dans un sens moins péjoratif que le pédagogisme) a créé des choses mathématiquement fausses qu'elle raconte aux enfants. Il faut bien faire la différence entre:

1) agrémenter de couleurs ou d'exemples prétendument concrets des contenus mathématiques corrects: ça peut mener à débat, mais ça peut légitimement s'appeler "pédagogie acceptable"

2) Raconter des choses purement et simplement fausses avec un soit disant alibi [c'est plus simple comme ça, ils corrigeront un jour d'eux-mêmes)]

Par exemple:
-les profs qui enlèvent des points parce qu'ils exigent que telle sorte de résultats soit présentés sous la forme a=b et non pas b=a
-les profs qui enlèvent des points face à une égalité mathématiquement vraie (par exemple vecteur u vs translation de vecteur u) mais pour laquelle ils ont souhaité pédagogiquement faire une distinction
-les profs qui enlèvent des points parce que le cheminement (valable) n'est pas celui attendu
-etc, la liste est longue (j'aurais pu faire aussi des "les profs qui mettent des points quand...")

samok a écrit:

La physique contemporaine déclare aussi que le vide n'existe pas, alors bon qu'y a-t-il de plus rigoureux avec la théorie des ensembles ?

Je ne suis pas sûr de ce que tu veux dire mais l'ensemble vide n'est de toute façon pas censé représenter le vide spatial. Au contraire des concepts de la géométrie classique qui avaient la prétention(*) de décrire la réalité physique.

[size=x-small]C'est dit sans animosité. A l'époque il n'y avait aucun moyen de savoir que c'était faux. Certains organismes dont l'homme ne sont pas des plantes et doivent accomplir un effort non trivial pour se nourrir. L'évolution les a muni d'une certaine aptitude à se représenter le monde pour manger et se reproduire efficacement. Cependant il n'y a pas de raison que cette représentation soit exacte notamment si on change d'échelle (et elle ne l'est pas: elle est invalidée de la pire manière possible à l'échelle atomique par la MQ et à grande échelle ou aux vitesses élevées par la relativité). Chez l'homme, l'expression de cette représentation est la géométrie classique. L'être humain croit dur comme fer qu'il vit dans $\R^3 \times \R$ (appellation contemporaine), muni de la distance euclidienne car en fait il est câblé en dur pour être persuadé de ça. Je me réveille tous les jours dans $\R^3 \times \R$ et ne perçois pas autre chose. C'est aussi pour ça que les grecs qualifiaient d'axiomes les énoncés (reconnus improuvables) de base de leur théorie comme étant des énoncés évidents: il fallait oser alors que personne-voir ma remarque- n'avait jamais pu faire un constat en bonne et due forme de la validité de ces axiomes dans la moindre situation concrète. Ils étaient évidents simplement parce qu'ils les "voyaient".[/size]

@christophe c
Je suis d'accord pour tout le paragraphe "raconter des choses fausses avec un alibi" et pour les exemples choisis.

Par contre, je ne crois pas qu'on mente à des gamins en leur parlant de triangles, de médiatrices et plus généralement de géométrie.
Quand même, le menteur serait celui qui leur dirait "un parallélogramme n'existe pas en mathématiques mais en physique."

Dans un cadre philosophique, je veux bien qu'on parle de l'inexistence des carrés, et du vide...

On a le droit de leur parler de l'imagination? Vrai et faux, cela n'a rien à voir avec les maths.
Soit on est cohérent avec le modèle, soit non.