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Graphes de deux fonctions coïncident

Envoyé par Alfata 
Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 12:40
Salut,
Qu'est-ce qu'on peut dire de deux fonctions $f$ et $g$ dont leurs graphes $\mathcal C _f$ et $\mathcal C _g$ [qui] coïncident ?

Merci.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 16/10/2015 22:19 par AD.
Re: Graphe de deux fonctions coincident
16 octobre 2015, 13:12
avatar
Que f=g ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 14:04
@Alfata: le pédagogisme a fait semblant de distinguer une fonction de son graphe, mais en fait une fonction c'est son graphe. Par exemple un vecteur et une translation, c'est la même chose

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 20:56
avatar
Bonjour,

Ne doit-on pas distinguer le cas où le graphe de $f$ est le même que celui de $g$ mais est parcouru plusieurs fois ? Par exemple, le graphe est le cercle unité. $f$ définie sur $[0, 2\pi]$. $g$ définie sur $\R$. $f$ n'est pas $g$ mais sa restriction sur une période. Dans mon exemple, $f$ est une fonction sur $\R^2$.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 21:08
avatar
YvesM,

Ce qu'on appelle le graphe de ton application f (en général), c'est une partie de $\R^3$, et non la projection sur $\R^2$ que tu considères.
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 21:28
J'ai compris (comme un sous-entendu) qu'il s'agissait d'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Dans ce cas l'ensemble de ces graphes là est en bijection avec l'ensemble de ces fonctions.
C'est en ce sens que @christophe c dit que "c'est pareil".

Si on appelle graphe, par exemple, la représentation des courbes parametrées (j'ai en tête $\mathbb R^2$), alors la remarque de @YvesM est justifiée.

La sémantique ("graphe") et la précision des objets étudiées (quelles fonctions, de quoi dans quoi) est importante pour répondre rigoureusement.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 22:47
avatar
Christophe exagère en disant qu'une fonction, c'est son graphe. En effet, une fonction, c'est un triplet formé par un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée et une partie du produit d'iceux telle que [...]. Il est en effet indispensable de distinguer $f:\emptyset\to[0,1]$ et $g:\emptyset\to\R^2$ alors que leurs graphes sont tous deux vides.

Dom exagère à l'envers pour mettre en bijection les graphes et les fonctions. Quelle serait la définition d'une fonction au-delà de son graphe ? Bien sûr, il faut éviter les évocations romantiques de « correspondance » ou autres termes évocateurs mais non définis du même genre.

Au passage, je ne parlerais jamais du graphe de la fonction $f:[0,17\pi]\to\R^2$, $t\mapsto(\cos t,\sin t)$ pour désigner le cercle unité -- c'est son image $f\bigl([0,17\pi]\bigr)$. (En plus, j'enguirlanderais un élève ou un étudiant qui le ferait.) En fait, je serais curieux de trouver un livre (raisonnable) où cette terminologie serait employée...
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 22:57
Que l'on soit bien d'accord je mets en bijection les graphes de fonctions et les fonctions (de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$).
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 23:34
avatar
Oui, mais qu'est-ce qu'une fonction si ce n'est pas un graphe $\Gamma$ (comme dit Christophe) ou un triplet $(E,F,\Gamma)$ (comme je le propose) ?

(Bien sûr, dans les deux cas, $\Gamma$ est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément $x$ de $E$, il existe un unique élément $y$ de $F$ tel que $(x,y)\in\Gamma$. Si on veut pinailler, on remplacera « un unique » par « au plus un », ce qui a une importance pour les analystes qui font des opérateurs en dimension infinie et personne d'autre à ma connaissance.)
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 23:47
Et bien il faut savoir : pareil ou pas pareil ?

1) Un graphe de fonction est un ensemble de points (on est en géométrie !).
2) Une fonction n'est pas un ensemble de points. On la définit sans faire appel à un plan muni d'un repère.
(C'est ce que tu dis : la donnée de deux ensembles etc...).

C'est pourquoi je dis que "dire c'est pareil" est un abus de langage sauf à considérer une bijection (on pourrait dire "isomorphisme d'ensembles" pour faire plus savant).

Je ne prétends pas cependant annoncer une résultat profond mais c'est de cette façon que j'ai interprété la question du message original.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 23:52
avatar
Qu'une fonction soit un graphe fonctionnel, c'est bien clair en tout cas en théorie des ensembles. Le dessin que l'on trace dans le plan quand on trace le graphe d'une fonction au sens élémentaire est bien une représentation graphique de ce graphe fonctionnel. Donc si deux graphes coïncident (aux erreurs d'épaisseur de crayon près pour le sens élémentairegrinning smiley) c'est bien la même fonction.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
16 octobre 2015, 23:54
avatar
Ah ! La question initiale ne faisait pas état de plan ni de repère, d'où les différences d'interprétation du mot. Mais remarque vient de le dire.
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 00:26
Oui d'accord. C'était l'objet de mon premier message sur la sémantique.
@remarque veille au grain winking smiley

Et c'est tant mieux !
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 08:57
Je recense les façons de s'exprimer car par exemple Jer a raison en théorie des catégories (et plus généralement chez certains algébristes). J'essaie d'être exhaustif. Remarque: dans le passé, il y avait eu un long fil (assez délirant) sur le sujet, mais apparemment, le forum est beaucoup plus calme en 2015.



$a$ est une fonction est une abréviation de $\forall x,y,z: $ si $(x,y)\in a$ et $(x,z)\in a$ alors $y=z$.

domaine de $a$ abrège $\{x\mid \exists y: (x,y) \in a\}$

codomaine de $a$ abrège $\{x\mid \exists y: (y,x)\in a \}$

domaine et codomaine de $a$ seront respectivement noté $dom(a)$ et $codom(a)$ dans la suite

$a$ est une fonction de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a)\subset b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une application de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a) = b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une surjection de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une fonction et $dom(a) = b$ et $codom(a) = c$

$a$ est une fonction injective abrège $a$ est une fonction et $\forall x,y,z: $ si $(x,z)\in a$ et $(y,z)\in a$ alors $x=y$

$a$ est une bijection de $b$ dans $c$ abrège $a$ est une application surjective de $b$ dans $c$ et $a$ est injective



Dans certains champs de l'algèbre, on a les écritures suivantes:

$a$ une fonction de $b$ dans $c$ devient $a$ est un triplet $(b,c,f)$ tel que $f$ est une fonction de $b$ dans $c$

$a$ une application de $b$ dans $c$ devient $a$ est un triplet $(b,c,f)$ tel que $f$ est une application de $b$ dans $c$

Ceci étant dû au fait qu'ils ont besoin de préciser l'ensemble de départ et d'arrivée. Avec ces redéfinitions, il faut faire attention, que pour une même $f$, les triplets $(a,b,f)$ et $(c,d,f)$ peuvent être différents. Ces champs ont besoin de les voir comme différents. Par exemple en théorie des catégories, la catégorie ens est celle dont les objets sont les ensembles et les flèches entre $E$ et $F$ sont les triplets $(E,F,f)$ où $f$ est une application de $E$ dans $F$.

Dans tous les cas, que ce soit en algèbre ou ailleurs, le graphe de $(E,F,f)$ (deuxième définition) est $f$ et le graphe de $f$ (première définition) est $f$.

Question: les catégorico-algébristes ont-ils raison ou tort? Cette question n'a pas de sens. Il y a des tas de situations où il est important de ne pas avoir à considérer "l'ensemble de départ" et "l'ensemble d'arrivée" (tout simplement parce qu'on ne le connait pas et qu'il est par exemple à découvrir, etc). Dans d'autres cas, on en a besoin (ces derniers cas, catégories mises à part, étant essentiellement pour des raisons "pédagogiques" (au sens non péjoratif, ie au sens où on veut raccourcir tout en restant précis un énoncé d'examen, etc)).

Bonne nouvelle: dans presque tous les livres, le contexte est clair quant à la terminologie utilisée.

Remarque: si $f$ est une fonction et $x\in dom(f)$ alors $f(x)$ désigne l'unique $y$ tel que $(x,y)\in f$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/10/2015 09:37 par christophe c.
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 09:25
Je lis tout cela avec attention et j'ai quelques précisions à demander :
On distingue bien application et fonction.
Mais apres je lis "une surjection" et "une fonction injective", pourquoi précise-t-on dans un cas et pas dans l'autre ?
Idem pour "une bijection".
S'il faut que j'y travaille pour y répondre, dites-le moi winking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/10/2015 09:41 par Dom.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 09:37
En fait, j'aurais pu écrire $a$ est une injection, au lieu d'écrire $a$ est une fonction injective.

Dans le cas $a$ est surjective, la phrase n'a pas de sens sans préciser de quoi dans quoi ($a$ est toujours une surjection de son domaine sur son codomaine). Alors que $a$ est injective a un sens tel quel. C'est tout.

En résumé: injection synonyme de fonction injective, surjection synonyme de fonction surjective, bijection synonyme de fonction bijective, et on est une bijection de quelque chose dans quelque chose (idem pour surjection), alors qu'on peut être une injection tout court.

On peut remplacer "fonction" par "application", en général, les gens comprennent avec le contexte ou demandent des précisions.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 11:46
Ok c'était sur tout pour la dernière remarque (fonction ou application).

Autre chose : dans le message original de ce fil, on appelle $ \mathcal C _f $ le graphe de f et on peut alors penser à la courbe représentative de f dans un repère (affine suffit d'ailleurs).
L'outil "courbe" peut-il être définit de manière analogue ? (Cela me semble être "lourd" sans y réfléchir)
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 11:54
Je ne comprends pas ta question: si $f\subset \R^2$ est une fonction, la courbe de $f$ dans le repère $Toto$ est l'ensemble des points $M$ tels que $(x_M,y_M)\in f$, où $x_M$ abrège abscisse de $M$ dans le repère Toto (idem avec $y_M$)

Si tu veux définir directement ce qu'est une courbe de fonction (pour les fonctions incluses dans $\R^2$), tu peux tout à fait dire que c'est un ensemble de points qui ne contient pas deux points différents ayant la même abscisse.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 12:06
L'idée est de différencier courbe et graphe.
Le graphe contient des couples, la courbe contient des "points" (c'est tellement "la même chose" que la notion de point, géométriquement parlant est plus abstraite à mon sens).
Heu...je déraille ?
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 12:10
Au lycée, les points, c'est de la physique, pas des maths (même si c'est le prof de maths qui en parlent), par exemple la notion de repère orthonormé n'est pas définie mathématiquement au lycée (elle l'est physiquement). En maths "officielles", il n'y a pas de "plan", "espace", etc autres que donnés comme ensembles avec toutes les hypothèses qu'il faut ou définies comme étant $\R^2$ ou $\R^3$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 17:09
Les "graphes", "objets géométriques" etc, n'existent pas. Ils datent de l'époque où les grecs croyaient à l'existence d'un plan euclidien idéalisé.
Les questions du type "montrer que des fonctions sont égales ssi leur graphes le sont" vendent aux enfants l'image dune fausse rigueur des mathématiques.
Si on tient vraiment à être rigoureux et non pas snob il faut définir vraiment les objets (l'abominable "trait d'épaisseur nulle" appelle des critiques légitimes) et le point de vue des ensemblistes montre toute sa pertinence.
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 17:47
C'est assez effrayant...
Les triangles, carrés... n'existent pas ?
Les droites ne sont que des espaces affines de dimension 1 ?
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 17:53
avatar
Bonjour,

j'aime bien discuter avec les profs de philo dans les établissements que je croise. Je débute souvent la conversation avec une interrogation surprise du genre "est-ce que toute connaissance dérive de l'expérience ?" ou "quelle est la différence le concept de notion et la notion de concept ?" cela brise la glace et très souvent un échange très intéressant s'instaure.

Il y a très peu de temps j'ai appris ainsi que Platon employait "forme" et "idée" de manière synonyme. Votre intervention sieur Foys tend à montrer que le formalisme avec la théorie des ensembles par exemple tend à effacer la notion d'idée (au sens platonique) en tant qu'abstraction (qui est tirée de la perception).

Bon déjà, c'est quoi exister selon vous. Un quantificateur? Un prédicat ?

Par ailleurs si je vous demande ce qu'est un ensemble, vous allez me répondre, sans doute, que c'est une notion première. Ben comme un point, une ligne, un plan.
Dans les deux cas ce sont les relations entre ces bidules qui importent, n'est-ce pas ?
L'histoire a montré que les Eléments d'Euclide peuvent faire l'objet de reproche quant à la rigueur logique mais lire "... Ils datent de l'époque où les grecs croyaient à l'existence d'un plan euclidien idéalisé. ..." je trouve cela choquant car teinté de quelque chose de péjoratif.
J'ajoute que cette histoire de mensonges aux enfants (pas la première fois que je lis cette expression ici) cela commence à m'orchidoclaster (= me pète les prunes en plus classieux))

Propos sans animosité, ceci dit.

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 17:56
C'est-à-dire qu'au vu de ce qu'on sait en physique (aujourd'hui, i.e avec la mécanique quantique et la relativité), aucun objet naturel n'est susceptible de jouer rigoureusement le rôle de segment.
Donc comment sanctionner l'élève *au nom de ladite rigueur* sur ces sujets.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 18:10
avatar
Fort bien.
La physique contemporaine déclare aussi que le vide n'existe pas, alors bon qu'y a-t-il de plus rigoureux avec la théorie des ensembles ?

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 18:16
@samok, je ne sais vraiment ce qui te permet d'affirmer

Citation

montrer que le formalisme avec la théorie des ensembles par exemple tend à effacer la notion d'idée

C'est complètement gratuit (et assez manifestement faux).

Citation

J'ajoute que cette histoire de mensonges aux enfants

Mais foys a raison: on ment pas mal aux enfants dans l'enseignement secondaire, aussi bien classique qu'actuel (actuellement la situation est très grave, donc je passe, mais même depuis longtemps, la pédagogie (dans un sens moins péjoratif que le pédagogisme) a créé des choses mathématiquement fausses qu'elle raconte aux enfants. Il faut bien faire la différence entre:

1) agrémenter de couleurs ou d'exemples prétendument concrets des contenus mathématiques corrects: ça peut mener à débat, mais ça peut légitimement s'appeler "pédagogie acceptable"

2) Raconter des choses purement et simplement fausses avec un soit disant alibi [c'est plus simple comme ça, ils corrigeront un jour d'eux-mêmes)]

Par exemple:
-les profs qui enlèvent des points parce qu'ils exigent que telle sorte de résultats soit présentés sous la forme a=b et non pas b=a
-les profs qui enlèvent des points face à une égalité mathématiquement vraie (par exemple vecteur u vs translation de vecteur u) mais pour laquelle ils ont souhaité pédagogiquement faire une distinction
-les profs qui enlèvent des points parce que le cheminement (valable) n'est pas celui attendu
-etc, la liste est longue (j'aurais pu faire aussi des "les profs qui mettent des points quand...")

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 18:28
avatar
Bonjour Christophe,

"C'est complètement gratuit (et assez manifestement faux)".

Cela aussi est complètement gratuit et je ne sais pas dans quel modèle tu te places quant à l'évaluation de sa véracité.

Par ailleurs j'ai suivi un MOOC en design des symboles logiques et je te conseille de renommer $tout$ par $\bot \text{ou}\bot$.

S

La poésie n'est pas une solution.
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 19:06
Citation
samok
La physique contemporaine déclare aussi que le vide n'existe pas, alors bon qu'y a-t-il de plus rigoureux avec la théorie des ensembles ?

Je ne suis pas sûr de ce que tu veux dire mais l'ensemble vide n'est de toute façon pas censé représenter le vide spatial. Au contraire des concepts de la géométrie classique qui avaient la prétention(*) de décrire la réalité physique.

C'est dit sans animosité. A l'époque il n'y avait aucun moyen de savoir que c'était faux. Certains organismes dont l'homme ne sont pas des plantes et doivent accomplir un effort non trivial pour se nourrir. L'évolution les a muni d'une certaine aptitude à se représenter le monde pour manger et se reproduire efficacement. Cependant il n'y a pas de raison que cette représentation soit exacte notamment si on change d'échelle (et elle ne l'est pas: elle est invalidée de la pire manière possible à l'échelle atomique par la MQ et à grande échelle ou aux vitesses élevées par la relativité). Chez l'homme, l'expression de cette représentation est la géométrie classique. L'être humain croit dur comme fer qu'il vit dans $\R^3 \times \R$ (appellation contemporaine), muni de la distance euclidienne car en fait il est câblé en dur pour être persuadé de ça. Je me réveille tous les jours dans $\R^3 \times \R$ et ne perçois pas autre chose. C'est aussi pour ça que les grecs qualifiaient d'axiomes les énoncés (reconnus improuvables) de base de leur théorie comme étant des énoncés évidents: il fallait oser alors que personne-voir ma remarque- n'avait jamais pu faire un constat en bonne et due forme de la validité de ces axiomes dans la moindre situation concrète. Ils étaient évidents simplement parce qu'ils les "voyaient".
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 20:46
avatar
Ceci est faux.
Ceci est prouvé.
Ceci est ta façon de voir les choses.
Je ne m'y retrouve pas dans le paragraphe écrit en tout petit (comme une clause d'assurance (de ce qui est dit)).

Je reformule :
1. Les atomes (les quarks ...) existent => exit la géométrie (l'art de raisonner sur des figures fausses)
?
2. L'ensemble vide n'existe pas => exit la théorie la théorie des ensembles (un langage machine)
?

C'est assez faux ou assez vrai, ces implications. Précisez votre pensée.


S

La poésie n'est pas une solution.
Dom
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 21:26
@christophe c
Je suis d'accord pour tout le paragraphe "raconter des choses fausses avec un alibi" et pour les exemples choisis.

Par contre, je ne crois pas qu'on mente à des gamins en leur parlant de triangles, de médiatrices et plus généralement de géométrie.
Quand même, le menteur serait celui qui leur dirait "un parallélogramme n'existe pas en mathématiques mais en physique."

Dans un cadre philosophique, je veux bien qu'on parle de l'inexistence des carrés, et du vide...
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
17 octobre 2015, 21:29
D'accord, je répondais dans un contexte précis (celui de samok qui disait en avoir marre d'entendre qu'on ment aux enfants)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Graphes de deux fonctions coïncident
18 avril 2021, 02:13
On a le droit de leur parler de l'imagination? Vrai et faux, cela n'a rien à voir avec les maths.
Soit on est cohérent avec le modèle, soit non.
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