Valeur d'adhérence et convergence

Rigel
Rigel
dans Analyse
Bonjour ! Je me pose une question à propos du résultat suivant :

Si on se donne une suite Un dans K compact admettant une unique valeur d'adhérence, alors la suite Un converge (corollaire de Bolzano-Weierstrass)
En dimension finie, on peut simplifier en supposant simplement que Un est bornée, puisqu'on a la caractérisation des compacts.

Voilà mon problème : je cherche une suite bornée dans un espace de dimension infini, admettant une unique v.a. mais ne convergeant pas !

Ma première idée était de chercher une telle suite dans la boule unité fermée (qui n'est pas compacte d'après Riesz) de R[X] ou de l'espace des fonctions continues sur [0,1], sans succès...

Merci pour vos réponses.

Réponses

  • aléa
    aléa
    $(e_n)_{n\ge 1}$ base hilbertienne d'un Hilbert; $x_{2n}=e_n$; $x_{2n+1}=0$.
  • Dom
    Dom
    Première idée : dans l'espace des fonctions continues sur [0;1].
    Norme définie par l'intégrale sur [0;1]. Correction : Norme uniforme !
    Choisir : pour tout entier $n$, pour tout $t$ dans [0;1],
    $f_{2n}(t)=t^{2n}$ et $f_{2n+1}=0$.

    $(f_n)$ ne converge pas et admet (seulement) la fonction nulle pour valeur d'adhérence.

    Sauf erreur.

    Edit : on peut faire pareil avec $\mathbb Q$ et on prend la norme "valeur absolue" (c'est bizarre car la norme est à valeurs dans $\mathbb R$, mais ça marche).
    Une suite qui "converge" (pas !) vers $\sqrt2$ pour les termes pairs et la suite nulle pour les termes impairs.
  • remarque
    remarque
    > Sauf erreur.

    Cette suite converge tranquillement vers $0$.
  • Dom
    Dom
    Heu non car la suite "paire" ne converge pas (problème de continuité).
    Correction : la norme choisie au départ n'était pas judicieuse.
  • remarque
    remarque
    La fonction nulle n'est pas continue ? On m'aurait menti ?
  • Dom
    Dom
    Je suis peut-être fatigué mais j'ai choisi $f_{2n}(t)=t^{2n}$ et ça a plutôt comme "limite" la fonction nulle sur tout sauf en 1. Non ? Correction : non, pas pour la norme 1.
    J'suis en train de confuser sérieusement ? M'embrouiller ? (Edit : Oui et oui)
    Un mélange savant de convergence simple ou un truc comme ça ?
    Prendre la norme uniforme eut été plus judicieux ? ;-) Edit : mea culpa.
  • remarque
    remarque
    Pas pour la norme que tu as choisie, qui est juste la norme $L^1$.

    Edit : je répondais à ta première ligne. Tu peux voir ça comme une manifestation de convergence presque partout également, mais le fond de la chose, c'est que cette suite tend vers $0$ en norme.
  • Dom
    Dom
    La fatigue, merci @remarque, j'ai changé cela dans le message précédent.

    J'ai aussi corrigé ma contribution. Au temps pour moi.
  • Rigel
    Rigel
    Merci, je me compliquais la vie dans R[X] avec des normes exotiques !
  • christophe c
    christophe c
    je cherche une suite bornée dans un espace de dimension infini, admettant une unique v.a. mais ne convergeant pas

    Dans n'importe quel espace métrique non compact, tu prends une suite $u$ sans valeur d'adhérence, une suite constante $v: n\mapsto a$, et $w: [n\mapsto $ if $n$ pair then $u(n/2)$ else $a]$ convient.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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