Suites adjacentes.

Bonjour, je bloque sur un sujet de CAPES.

J'ai essayé de répondre aux premières questions :

1. Soit $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante. D'autre part, $\lim_{n\to\infty} w_{n}=l$.
Supposons que il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que : $w_{N}<l$.
Par définition, pour tout entier $p\geq N$, on a : $w_{p}\leq w_{N}$ (en effet, la suite est décroissante).
D'autre part, on a $w_{p}\leq w_{N}<l\Rightarrow w_{p}<l$ mais cela contredit l'hypothèse de départ, $\lim_{n\to\infty}w_{n}=l$.

On a donc formellement invalidé la possibilité qu'une suite décroissante de limite $l$ aie un ou plusieurs termes strictement inférieur à $l$.

2.1. La suite $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante par définition. La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ étant croissante, on a immédiatement $(-u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ qui est décroissante. Preuve :
$$\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}\geq u_{n}\rightarrow -u_{n+1}\leq -u_{n}$$
La somme de deux suites décroissantes est nécessairement décroissante. Il vient que, si $u_n$ est croissante et $v_n$ décroissante, la suite $(v_{n}-u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.

2.2 D'après la question 2.1, $(v_{n}-u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante et, par hypothèse, $\lim_{n\to\infty}(v_{n}-u_{n})=0$. D'après le résultat de la question 1., on a nécessairement : $$\forall n\in\mathbb{N}, (v_{n}-u_{n})\geq 0$$

2.3 Je n'y arrive pas vraiment, j'ai quelques intuitions mais je n'arrive pas à formaliser la démonstration, alors que je suis sûr que c'est très simple. J'ai fait quelques recherches, car j'ai cru avoir trouvé un contre-exemple au théorème. En particulier, je pense que si $\lim_{n\to\infty} v_{n}-u_{n}=0$ et que $v_{n}$ diverge, alors il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $p\geq N$, $v_{p}=u_{p}$, ce qui contredit l'hypothèse de départ que $u$ est croissante et $v$ décroissante. Je sais que cela ne fait pas une preuve mais bon je suis quasi-sûr de mon résultat. Je suis peut être très embrouillé au niveau des définitions.

EDIT : j'ai trouvé la soluce sur le net : $u_{0}\leq u_{n}\leq v_{n}\leq v_{0}$, $u_{n}$ est croissante et majorée donc elle converge, $v_{n}$ est décroissante et minorée donc elle converge, comment j'ai pu ne pas le voir (j'ai honte).

2.4 En admettant 2.3, et d'après les théorèmes admis dans l'énoncé :
$\lim_{n\to\infty}(v_{n}-u_{n})=\lim_{n\to\infty}{v_{n}}-\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$
d'où le résultat.


PS : je sais qu'une bonne partie des questions d'un énoncé de CAPES se démontre en quelques lignes max (il y a des exceptions, mais elles sont rares). Que me conseillez vous de faire quand je sèche face à une question aussi simple ? Vaut-il mieux passer directement à la suite et admettre le théorème ?

PPS : en l'espèce, je suis tenté d'écrire $\forall n, v_{n}-\lim_{p\to\infty }u_{p}\geq 0$ la suite est donc majorée et croissante, elle converge, ce qui me semble « tricher » un peu mais c'est vrai, donc je n'ose pas « m'avancer » là dessus. Est-ce que ça vous semble possible d'écrire ce genre de choses sans justification ou est-ce que c'est clairement trop dangereux ?