Fonction zeta de Riemann -- 1

Re-bonjour, dans ma quête de sujets de CAPES, je me suis rendu compte que je manque beaucoup trop de rigueur pour être un bon matheux.

Tout de même j'essaie de poster sur ces quelques questions (il est tard, heureusement que c'est les vacances !)

Le message qui suit tentera d'être auto-suffisant en ce qui concerne l'énoncé et les hypothèses, sinon le sujet est là : http://maths-france.fr/Capes/Capes_2009_M1_Enonce.pdf (partie III, fonction de Riemann et nombres de Bernouilli Bernoulli).

On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable réelle $s$ telle que : $$\zeta:s\mapsto\sum_{k\geq 1}\dfrac{1}{k^s}
$$ III.1.a Soit $s>0$. Montrons que l'on a : $$
\frac{1}{(k+1)^s}<\int_{k}^{k+1}\frac{\mathrm dx}{x^s}<\frac{1}{k^s}
$$ On considère pour cela la fonction $f:x\mapsto\dfrac{1}{x^s}$ définie sur $I=[k,k+1]$ où $k$ est un entier supérieur ou égal à 1.
Alors $\substack{\sup\\x\in I}(f)=\dfrac{1}{k^s}$ et $\substack{\inf\\x\in I}(f)=\dfrac{1}{(k+1)^s}$. Comme $\dfrac{1}{k^s}\neq \dfrac{1}{(k+1)^s}$ et que $f$ n'est pas une fonction constante, il existe $c\in ]k,k+1[$ tel que $\int_If(x)\mathrm dx=f(c)$ . D'où le résultat.
D'après ce dernier résultat, on établit que $$
\sum_{k\geq 2}\frac{1}{k}<\int_{1}^\infty\frac{\mathrm dx}{x^s}<\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k}
$$ Comme $1^s=1$ pour tous les $s$ définis plus haut, on en déduit $$
\zeta(s)-1<\int_{1}^\infty\frac{\mathrm dx}{x^s}<\zeta(s)
$$ Si $\zeta(s)$ diverge, alors l'intégrale diverge. Réciproquement si l'intégrale diverge, alors $\zeta(s)$ nécessairement diverge.

III.1.b) Si $s>1$, l'intégrale converge, et $$\int_{1}^\infty \frac{\mathrm dx}{x^s}=\int_{1}^\infty
x^{-s}\mathrm dx=\lim_{x\to\infty}\frac{ x^{1-s}}{1-s}-\frac{1}{1-s}=\frac{1}{s-1}
$$ Si $s=1$, l'intégrale diverge car $$\int_{1}^\infty \frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{x\to\infty}\ln(x)-\ln(1)=+\infty
$$ Pour $0<s<1$, l'intégrale diverge également puisque si $s\in]0,1[$, $s'=1$, alors $\forall x\in]1,\infty[,\ \dfrac{1}{x^s}> \dfrac{1}{x^{s'}}$ d'où la majoration qui convient.
Pour $s\leq 0$, on se ramène à l'intégration d'une puissance positive de la variable $x$ sur un intervalle non borné ($x\in[1,\infty[$). On a $$
\int_{1}^\infty {x^{-s}}{\mathrm dx}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{1-s}}{1-s}-
\dfrac{1}{1-s}=+\infty
$$ car $-s\geq 0$.
La fonction $\zeta$ est donc définie sur $]1,\infty[$. Elle est strictement décroissante, car :
$$\forall x\in]1,\infty[,\forall (s,s')\in ]1,\infty[^2,\left(s<s' \Rightarrow \frac{1}{x^{s'}}
<\frac{1}{x^s}\right)
$$ III.1.c On montre que $\zeta(s)\sim_{1^+}\dfrac{1}{1-s}$. Cela est vrai d'après la question III.1.b. En effet on a montré que pour $s>1$, $\zeta(s)-1<\frac{1}{s-1}<\zeta(s)$, d'où l'encadrement : $$
\frac{1}{s-1}<\zeta(s)<\frac{s}{s-1}
$$ Or $\dfrac{\lim_{s\to 1^+}\frac{1}{s-1}}{\lim_{s\to 1^+}\frac{s}{s-1}}=1$, ces deux expressions sont donc des équivalents au voisinage de $1$. D'où le résultat.
III.1.d On montre que $\zeta(s)$ est une série de fonction normalement convergente sur $[a,\infty[$ pour $a>0$. On a montré que si $s\in]1,\infty[$, $\zeta(s)$ existe. Donc pour $a>1$, la série $$\zeta(s)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^s}$$ converge normalement sur $[a,+\infty[$ puisqu'elle converge en $a$ et qu'elle est strictement décroissante.
Il faut montrer que $\zeta(s)$ est continue sur son domaine de définition et que $\lim_{s\to\infty}\zeta(s)=1$. Je ne comprends pas très bien la question, donc je passe à la suivante.
III.1.e On montre que $\theta(s)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^s}$ converge pour $s>0$. En effet, si on regroupe les termes de cette série en un terme impair et de un terme pair consécutifs, alors on obtient : $$\theta(s)=\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{(2n-1)^s}-\frac{1}{(2n)^s}\right)
$$ On remarque que $$\frac{1}{(2n-1)^s}-\frac{1}{(2n)^s}=\dfrac{(2n)^s-(2n-1)^s}{(2n)^s(2n-1)^s}=\frac{1-\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^s}{(2n-1)^s}=\frac{1-\left(1-\frac{1}{2n}\right)^s}{(2n-1)^s}$$
Un équivalent de $\left(1-\frac{1}{2n}\right)^s$ pour $n\to\infty$ est $\left(1-s\frac{1}{2n}\right)$. On en déduit $$\left(\frac{1}{(2n-1)^s}-\frac{1}{(2n)^s}\right)\sim_{\infty}\frac{s}{(2n)(2n-1)^s}\sim_{\infty}\frac{s}{(2n)^{s+1}}
$$ Or on a montré que $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{n^s}$ existe pour $s>1$, on en déduit que $\theta(s)$ existe pour $s>0$.
Comme :$$\theta(s)=\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{(2n-1)^s}-\frac{1}{(2n)^s}\right)$$ et d'autre part :
$$\dfrac{\zeta(s)}{2^{s-1}}=\sum_{n\geq 1}{\left(\frac{1}{2^{s-1}n^s}\right)}=2\sum_{n\geq 1}{\left(\frac{1}{(2n)^s}\right)}$$ on obtient : $$\theta(s)=\zeta(s)-\dfrac{\zeta(s)}{2^{s-1}}=\zeta(s)\left(1-\dfrac{1}{2^{s-1}}\right)$$ si on utilise la définition de $\theta(s)$ donnée par l'énoncé, qui correspond à $\zeta(s)$ pour laquelle on a retiré deux fois tous les termes de rang pair.
Fin de la question III.1)
Je poste la question III.2) dès que je peux.