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Une démonstration détaillée (vos avis)

Envoyé par julien__ 
Une démonstration détaillée (vos avis)
il y a quatre années
Bonsoir à tous,

Mise à jour 21.10.15 :
Voici une preuve détaillée du lemme des pics, destinée à des étudiants débutants de première année.
L'objectif est d'être le plus pédagogue possible, et de montrer comment la démonstration a été trouvée. Si possible, j'évite donc de sortir les arguments "de mon chapeau magique", et je procède par analyse synthèse.
Le document fait 1,5 pages seulement.

Merci d'avance pour votre avis sur le fond, la forme ou la méthode
Je suis aussi très intéressés par vos approches pour démontrer ce résultat.


Message original :
A l'occasion d'un séminaire d'étudiants, j'ai rédigé un document pédagogique à l'attention des étudiants du cours d'analyse première année sur le lemme des pics (de toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone), et je voudrais votre avis. (Ce lemme permet de démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass très joliment).

L'idée est de présenter une preuve qui mimique le raisonnement de quelqu'un qui cherche à démontrer ce lemme, puis de la nettoyer pour arriver à la preuve finale. Ceci dans le but de montrer que "dans la vraie vie" on ne trouve pas la preuve parfaite du premier coup, comme en attesteront surement beaucoup de chercheurs.
Je suis aussi très intéressés par vos approches pour démontrer ce résultat.

Merci d'avance pour vos avis
Mon objectif est d'être le plus pédagogue possible, j'y ai passé beaucoup de temps alors j'espère que ce n'est pas complètement raté...



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par julien__.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - lemme des pics.pdf (187.1 KB)
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Déjà corriger la grossière faute d'orthographe du titre, sans parler des autres dans le texte. Déjà inacceptable de la part d'un lycéen ...
Ensuite "dans la vaie vie", on ne trouve pas souvent "soit-même" la démonstration des théorèmes importants. Il y a pour ça des cours de math qui nous les présentent, avec des professeurs qui sont là pour nous les expliquer, et il est souhaitable qu'ils fassent bien leur travail au lieu de s'amuser à des fictions didacticiennes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Citation

on ne trouve pas souvent "soit-seul" la démonstration des théorèmes importants

Mouais, enfin le lemme des pics grinning smiley , si on ne le prouve pas tout seul en quelques minutes, c'est plus qu'on a des soucis de langage (par exemple avec les quantificateurs) qu'un manque d'inspiration.

@chaurien: je te trouve bien sec avec Julien. Pourquoi pas après tout? (Je n'ai pas lu son pdf). Y en a qui fument des pets ou trainent au mc do pendant que Julien travaille en latex...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Bonjour Chaurien,

Merci pour ta réponse, et merci pour avoir lu le document.

J'ai édité mon premier message avec une version corrigée du pdf. J'ai surement raté encore quelques fautes d'orthographe.

La démonstration est-elle au moins compréhensible ? C'est ainsi que j'ai raisonné lorsque j'ai essayé de démontrer ce résultat. A l'époque, je ne savais pas qu'il était connu et l'ai donc "redécouvert" moi-même. J'ai ensuite appris que Michael Spivak avait proposé une démonstration beaucoup plus élégante dans son livre Calculus, et j'ai cherché à nettoyer la mienne pour me rapprocher de la sienne. Ce passage semble peut-être un peu factice ?

Bien cordialement
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Le plus rigolo dans cette histoire, c'est que lorsqu'il y a quelques années j'étais professeur de Math-sup, je me suis aperçu de la véracité de ce lemme, et je l'ai utilisé comme base de mon cours d'Analyse. J'en ai trouvé "moit-même" la démonstration mais je n'en suis pas très fier car elle n'était pas bien belle. L'idée était d'énoncer une condition pour qu'une suite $u_n$ admette une suite extraite croissante, et cette condition était : $\exists X \in P^{*}( \N),\forall n\in X,\exists m\in X,m>n$ et $u_{m}\geq u_{n}$.
Par $P^{*}( \N)$ je désignais l'ensemble des parties non vides de $ \N$. Ensuite je niais cette assertion et j'en déduisais l'existence d'une suite extraite décroissante. Laborieusement. Une bonne petite page.
J'ai été content quelques années après de découvrir les démonstrations élégantes avec habillages divers, comme les suites avec "vues-sur-la-mer". Mais celles-ci, des gens plus calés les ont trouvées pour moi. Tout le monde n'est pas Pascal.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Je travaillerai sur cette démonstration demain. Merci de l'avoir partagée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par julien__.
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
avatar
La version finie de ce résultat est peut-être encore plus jolie :

Soient $m,n$ deux entiers naturels et soit $x_1,\dots,x_{nm+1}$ une suite (finie) de réels.
Alors il existe une sous-suite croissante de longueur $n+1$ ou il existe une sous-suite décroissante de longueur $m+1$.

On en trouve une application spectaculaire dans Raisonnements divins [www.springer.com].
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
avatar
Cher Chaurien,

Il n'y aucune raison de se dévaluer ainsi. J'ai remarqué que pour beaucoup de gens, chercher soi-même une preuve (parfois sans trouver) était le meilleur moyen d'assimiler un théorème et sa démonstration. Je ne comprends pas qu'on puisse décourager les étudiants de le faire.
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Histoire de continuer dans le genre "on élargit le contexte", j'informe de ce que je connais sur la question:

1) le lemme des pics est un cas particulier du théorème de Ramsey. Il me semble raisonnable de dire que dans l'activité qui consiste à chercher à trouver soi-même des preuves, en trouver du théorème de Ramsey est plus édifiant que pour le lemme des pics. De plus idem: pas besoin d'inspiration, c'est un théorème qui se prouve "à l'effort", ie "on sent" pourquoi il est vrai et "y a plus qu'à" traduire cette sensation en arguments.

2) Le théorème de Ramsey est lui-même un cas particulier d'un axiome incompatible avec l'axiome du choix mais qui rajouté à ZF n'est pas si machant (pas très fort): pour toute application $f$ de $P(\N)$ dans un ensemble fini, il existe une partie infini $A$ de $\N$ tel que la restriction de $f$ à l'ensemble des parties infinies de $A$ est constante. Et pourtant il est impressionnant à voir comme ça cet axiome smiling bouncing smiley

3) Le théorème de Ramsey entraine ce qu'on appelle diverses versions finitistes (la page wiki en mentionne une sous la nom de théorème de Ramsey fini). L'une d'entre est exprimable, mais pas démontrable dans l'arithmétique. Autrement dit le théorème de Ramsey touche à l'essentiel. La version indémontrable dans Peano dit que pour tout k,p,q et pour tout N assez grand, toute fonction $f$ de l'ensemble des parties de N à p éléments dans k est telle qu'il existe une partie F de N ayant au moins q éléments telle que son cardinal est plus grand que son minimum et telle que la restriction de $f$ à l'ensemble des parties à p éléments de $F$ est constante.
Remarque: la version infinitiste classique de Ramsey entraine cette version

4) Pour s'apercevoir de l'essentialité de Ramsey, il suffit de faire le petit exercice suivant: si on sait décider les énoncés entièrement bornées de $(\N,+,\times)$ (ce qui n'est pas très dur), ce sont les énoncés $\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$, les $a_i$ étant des entiers connus, et si on sait décider quelle couleur a une partie infinie monochrome dans les coloriages, alors on connait tous les énoncés vrais. En effet, il suffit de colorier en deux couleur l'uplet $a_1,..,a_n$ selon que $\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$ est vrai ou pas. Une partie infinie monochrome $A$, ie par exemple vérifiant $\forall a_1<a_2<a_3..<a_n$ dans $A:\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$ fait que $\forall x_1\exists x_2....P(x_1,..)=0$. (Exercice pas très méchant).

Pour finir disons que les Ramsey-phenomènes font l'objet de recherches et de trouvailles diverses (théorème de Hindman, etc). Je m'arrête là.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Merci à Siméon de rappeler la version finie de ce théorème. Il s'agit du théorème d'Erdös-Szekeres, 1935. Grâce à Numdam, on peut lire cet article :
[archive.numdam.org]
Il est toujours intéressant de revenir aux sources, et même émouvant quand on connaît un peu la personnalité de l'auteur.

Ce théorème fait partie de la collection de résultats dus à Erdös, à énoncé et démonstration élémentaires, ce qui ne veut pas dire faciles à trouver.

Maintenant Siméon serait bien aimable de nous signaler exactement à quel endroit au juste dans "Raisonnements divins" il est fait mention de ce résultat et de son application "spectaculaire".

Merci et bonne journée.
F. Ch.
Le soleil qui se lève et caresse les toits
et c'est Paris le jour
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
J'ai été un peu dur avec Julien__ . Il faut dire que je tiens pour essentiel de respecter la langue française, même dans les énoncés mathématiques. Lisez un peu nos classiques, Poincaré, Lebesgue, Legendre, Cauchy ou autres, du point de vue de la qualité de la rédaction. Mais bon c'est corrigé, on oublie.

C'était il y a déjà une vingtaine d'années. J'avais conjecturé ce lemme algébrique, peut-être parce que je connaissais depuis longtemps sa version finie, le théorème d' d'Erdös-Szekeres. J'avais vu celui-ci dans un vieux fanzine mathématique qui s'appelait "Le Facteur X", février 1963. Il a été republié dans "Le Petit Archimède" n° 20, octobre 1975, solution dans le n° 25-26, mars 1976.

Cela m'a semblé un bon lemme pour un cours d'Analyse, puisque, avec le théorème de la limite monotone, on en déduit immédiatement que de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente. Et ainsi de suite. J'en ai bricolé la démonstration que j'ai dite, que je distribuais aux élèves. Je vous la joins, vous verrez le vieux traitement de texte.

Ce n'est pas par fausse modestie que je la considère comme un peu balourde. Je sais bien comme dit l'autre que "le refus des louanges est un désir d'être loué deux fois". C'est que les rédactions plus récentes sont bien meilleures.

Bonne journée.
F. Ch.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - lemme suite extraite.pdf (461.5 KB)
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Bonjour,
Citation
Chaurien
Le soleil qui se lève et caresse les toits
et c'est Paris le jour
Quand même, célébrer Paris quand on a pour pseudo le gentilé de Castelnaudary qui fleure bon le $\dfrac{é}{k}$ !

Cordialement,

Rescassol
Re: Une démonstration détaillée (vos avis)
il y a quatre années
Bonjour Siméon et christophe c,
Merci pour ces ouvertures !

Bonjour Chaurien,
Tes remarques m'ont permis d'identifier certains points faibles de mon document. J'ai donc revu mon approche et simplifié la démonstration. En résulte une proposition de démonstration détaillée qui tient sur 1.5 pages, donc un format plus classique. Qu'en penses-tu ?


Bien cordialement,
Julien



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par julien__.
Re: Une démonstration détaillée (vos avis)
il y a quatre années
@Julien: comme je l'ai dit, tu ferais peut-être mieux de t'attaquer au théorème de Ramsey, ça t'édifierait mieux. La notion d'ordre est sans grande importance dans cette histoire: pour toute relation binaire $S$ sur $E$ et toute suite $u$ d'éléments de $E$, il existe une sous-suite qui est $S$-croissante ou qui est $S$-décroissante. Et la preuve n'est pas tellement plus difficile.

Soit $f$ une application de $\N^2$ dans un ensemble fini $F$. Soit $a$, une suite strictement croissante d'éléments de $\N$, et $A$ une suite décroissante, pour l'inclusion, d'éléments de $\N$ avec les propriétés suivantes:

1) la restriction de $f$ à l'ensemble des couples $(a_n,x)$ tels que $x\in A_n$ est constante (je note $k_n$ la valeur de la constante)
2) $\forall x\in A_n: x>a_n$
3) $a_{n+1}\in A_n$

Leur existence est relativement évidente (tu prends $a_{n+1}$ dans $A_n$, puis tu prends $A_{n+1} $ un sous-ensemble infini de $A_n$ qui convient au regard de $a_{n+1}$)

Soit alors $B$ un ensemble infini tel que la restriction de $k$ à $B$ est constante. Alors l'ensemble $C:=\{a_n\mid n\in B\}$ convient. Il a la propriété que la restriction de $f$ à $\{(x,y)\in C^2 \mid x<y\}$ est constante.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Une démonstration détaillée (vos avis)
il y a quatre années
avatar
Citation
Chaurien
Maintenant Siméon serait bien aimable de nous signaler exactement à quel endroit au juste dans "Raisonnements divins" il est fait mention de ce résultat et de son application "spectaculaire".

Je n'avais pas le livre sous la main au moment où j'ai écrit le message précédent. Dans la troisième édition du livre, le théorème et son application sont abordés dans la deuxième section du chapitre 25 « Le principe des tiroirs et le double décompte », pages 184 et 185.
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Merci Siméon. J'ai trois éditions de ce livre, l'édition en anglais de 1998, et les deux premières en français. Morbleu ! J'apprends qu'il me faut en acheter encore une !
Re: Document pédagogique sur le lemme des pics
il y a quatre années
Citation
christophe c
tu ferais peut-être mieux de t'attaquer au théorème de Ramsey, ça t'édifierait mieux

C'est en projet ! Et je vais aller voir dans le livre recommandé par Siméon aussi.

(Mais pour le séminaire je dois m'en tenir au lemme des pics, sinon ils vont me jeter des tomates).
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