Une démonstration détaillée (vos avis)

on ne trouve pas souvent "soit-seul" la démonstration des théorèmes importants

Mouais, enfin le lemme des pics :-D , si on ne le prouve pas tout seul en quelques minutes, c'est plus qu'on a des soucis de langage (par exemple avec les quantificateurs) qu'un manque d'inspiration.

@chaurien: je te trouve bien sec avec Julien. Pourquoi pas après tout? (Je n'ai pas lu son pdf). Y en a qui fument des pets ou trainent au mc do pendant que Julien travaille en latex...

Le plus rigolo dans cette histoire, c'est que lorsqu'il y a quelques années j'étais professeur de Math-sup, je me suis aperçu de la véracité de ce lemme, et je l'ai utilisé comme base de mon cours d'Analyse. J'en ai trouvé "moit-même" la démonstration mais je n'en suis pas très fier car elle n'était pas bien belle. L'idée était d'énoncer une condition pour qu'une suite $u_n$ admette une suite extraite croissante, et cette condition était : $\exists X \in P^{*}( \N),\forall n\in X,\exists m\in X,m>n$ et $u_{m}\geq u_{n}$.
Par $P^{*}( \N)$ je désignais l'ensemble des parties non vides de $ \N$. Ensuite je niais cette assertion et j'en déduisais l'existence d'une suite extraite décroissante. Laborieusement. Une bonne petite page.
J'ai été content quelques années après de découvrir les démonstrations élégantes avec habillages divers, comme les suites avec "vues-sur-la-mer". Mais celles-ci, des gens plus calés les ont trouvées pour moi. Tout le monde n'est pas Pascal.

La version finie de ce résultat est peut-être encore plus jolie :

Soient $m,n$ deux entiers naturels et soit $x_1,\dots,x_{nm+1}$ une suite (finie) de réels.
Alors il existe une sous-suite croissante de longueur $n+1$ ou il existe une sous-suite décroissante de longueur $m+1$.

On en trouve une application spectaculaire dans Raisonnements divins http://www.springer.com/us/book/9782817803999.

Histoire de continuer dans le genre "on élargit le contexte", j'informe de ce que je connais sur la question:

1) le lemme des pics est un cas particulier du théorème de Ramsey. Il me semble raisonnable de dire que dans l'activité qui consiste à chercher à trouver soi-même des preuves, en trouver du théorème de Ramsey est plus édifiant que pour le lemme des pics. De plus idem: pas besoin d'inspiration, c'est un théorème qui se prouve "à l'effort", ie "on sent" pourquoi il est vrai et "y a plus qu'à" traduire cette sensation en arguments.

2) Le théorème de Ramsey est lui-même un cas particulier d'un axiome incompatible avec l'axiome du choix mais qui rajouté à ZF n'est pas si machant (pas très fort): pour toute application $f$ de $P(\N)$ dans un ensemble fini, il existe une partie infini $A$ de $\N$ tel que la restriction de $f$ à l'ensemble des parties infinies de $A$ est constante. Et pourtant il est impressionnant à voir comme ça cet axiome (:D

3) Le théorème de Ramsey entraine ce qu'on appelle diverses versions finitistes (la page wiki en mentionne une sous la nom de théorème de Ramsey fini). L'une d'entre est exprimable, mais pas démontrable dans l'arithmétique. Autrement dit le théorème de Ramsey touche à l'essentiel. La version indémontrable dans Peano dit que pour tout k,p,q et pour tout N assez grand, toute fonction $f$ de l'ensemble des parties de N à p éléments dans k est telle qu'il existe une partie F de N ayant au moins q éléments telle que son cardinal est plus grand que son minimum et telle que la restriction de $f$ à l'ensemble des parties à p éléments de $F$ est constante.
Remarque: la version infinitiste classique de Ramsey entraine cette version

4) Pour s'apercevoir de l'essentialité de Ramsey, il suffit de faire le petit exercice suivant: si on sait décider les énoncés entièrement bornées de $(\N,+,\times)$ (ce qui n'est pas très dur), ce sont les énoncés $\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$, les $a_i$ étant des entiers connus, et si on sait décider quelle couleur a une partie infinie monochrome dans les coloriages, alors on connait tous les énoncés vrais. En effet, il suffit de colorier en deux couleur l'uplet $a_1,..,a_n$ selon que $\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$ est vrai ou pas. Une partie infinie monochrome $A$, ie par exemple vérifiant $\forall a_1<a_2<a_3..<a_n$ dans $A:\forall x_1\leq a_1\exists x_2\leq a_2....P(x_1,..)=0$ fait que $\forall x_1\exists x_2....P(x_1,..)=0$. (Exercice pas très méchant).

Pour finir disons que les Ramsey-phenomènes font l'objet de recherches et de trouvailles diverses (théorème de Hindman, etc). Je m'arrête là.

J'ai été un peu dur avec Julien__ . Il faut dire que je tiens pour essentiel de respecter la langue française, même dans les énoncés mathématiques. Lisez un peu nos classiques, Poincaré, Lebesgue, Legendre, Cauchy ou autres, du point de vue de la qualité de la rédaction. Mais bon c'est corrigé, on oublie.

C'était il y a déjà une vingtaine d'années. J'avais conjecturé ce lemme algébrique, peut-être parce que je connaissais depuis longtemps sa version finie, le théorème d' d'Erdös-Szekeres. J'avais vu celui-ci dans un vieux fanzine mathématique qui s'appelait "Le Facteur X", février 1963. Il a été republié dans "Le Petit Archimède" n° 20, octobre 1975, solution dans le n° 25-26, mars 1976.

Cela m'a semblé un bon lemme pour un cours d'Analyse, puisque, avec le théorème de la limite monotone, on en déduit immédiatement que de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente. Et ainsi de suite. J'en ai bricolé la démonstration que j'ai dite, que je distribuais aux élèves. Je vous la joins, vous verrez le vieux traitement de texte.

Ce n'est pas par fausse modestie que je la considère comme un peu balourde. Je sais bien comme dit l'autre que "le refus des louanges est un désir d'être loué deux fois". C'est que les rédactions plus récentes sont bien meilleures.

Bonne journée.
F. Ch.

Chaurien a écrit:

Maintenant Siméon serait bien aimable de nous signaler exactement à quel endroit au juste dans "Raisonnements divins" il est fait mention de ce résultat et de son application "spectaculaire".

Je n'avais pas le livre sous la main au moment où j'ai écrit le message précédent. Dans la troisième édition du livre, le théorème et son application sont abordés dans la deuxième section du chapitre 25 « Le principe des tiroirs et le double décompte », pages 184 et 185.