Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
225 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Suites définies par récurrence

Envoyé par albertine 
Suites définies par récurrence
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

pour situer le problème je m'intéresse à l'équation de Pell-Fermat (CAPES externe 2012, première composition).

Ici c'est la question 4 du problème 3.

On nous demande de montrer qu'il existe $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telles que $x_{n}+\sqrt{2}y_{n}=(3+2\sqrt{2})^n$.

4.1 Montrer l'existence de ces deux suites : voir la question 4.2
4.2 Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
Supposons qu'il existe $x_{1}+y_1\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})$. Posons alors $x_1=3$ et $y_1=2$.

Supposons maintenant que il existe $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ tels que $x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(x_{n}+y_{n}\sqrt{2})$. On obtient que
$$x_{n+1}+\sqrt{2}y_{n+1}=3x_n+2\sqrt{2}x_n+3\sqrt{2}y_n+4y_n$$
Enfin poursuivons, posons $x_{n+1}=3x_{n}+4y_{n}$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$. Alors on a défini deux suites :
$$(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}x_1=3\\ x_{n+1}=4y_n+3x_n\end{cases}\textrm{ et }(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}y_1=2\\ y_{n+1}=3y_n+2x_n\end{cases}$$
4.3 Montrer que ces deux suites sont strictement croissantes et que leur limite est $+\infty$
Ça me paraît évident que je n'arrive pas à le démontrer. J'ai écrit matriciellement :
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
d'où
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}^{n}
\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
On voit bien que les deux suites ne peuvent être que croissantes... Mais comment le montrer ? Toute indication bienvenue !

Pour la divergence, j'ai écrit : comme la somme des deux suites diverge, l'une au moins des deux suites diverge, car $\lim_{n\to\infty}(3+2\sqrt{2})^n=+\infty$. Mais si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge alors par définition $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge, donc les deux suites divergent.

Merci beaucoup !

PS : je pourrais tenter une preuve un peu laborieuse mais je pense qu'elle est juste, si vous voyez une autre méthode faites moi signe !

On sait que les suites $x_{n}$ et $y_{n}$ sont à termes positifs (par définition). Donc $y_{n+1}=2x_{n}+3y_{n}\geq 3y_{n}$ d'où $\frac{y_{n+1}}{y_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De même $x_{n+1}=3x_n+4y_n\geq 3x_n$, d'où $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De plus, ces deux suites sont minorées par des suites géométriques de raison 3, donc elles divergent.

PPS : je voulais vous demander si vous avez une preuve de convergence pour une puissance de matrice (condition nécessaire et suffisante qu'on pourrait utiliser en réalité pour n'importe quelle suite de matrice).



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par albertine.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 2012_capes_ext_math_1_199908.pdf (662.6 KB)
Dom
Re: Suites définies par récurrence
il y a quatre années
Une piste, pour la dernière question - PPS (je ne peux pas m'attarder winking smiley) sous forme d'exercice.
Si la matrice est diagonalisable (dans un premier temps), alors dans quels cas "sa puissance converge".
Essayer de généraliser aux cas non diagonalisables.

Voir ici aussi : [enseignement.math.univ-angers.fr]

Edit : une coquille dans la définition de $(y_n)$ sous le $y_1=2$ ($x_n$)

Pour la croissance, je pense qu'en "gérant" les deux suites en même temps on s'en sort avec une méthode classique d'inégalité stricte (à première vue).

Pour la divergence : par l'absurde, si les deux suites (croissantes) convergent, alors ...
Le cas où une seule d'entre elles converge ne doit pas être oublié.
En ce qui me concerne, je ne comprends pas "comme la somme des deux suites converge".
(Je file désormais).



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Dom.
Re: Suites définies par récurrence
il y a quatre années
Pour la stricte croissance des suites, on peut écrire que:
\[
\forall n\in\mathbb{N}^{*},x_{n+1}-x_{n}=2(x_{n}+2y_{n})>0\textrm{ et }y_{n+1}-y_{n}=2(x_{n}+y_{n})>0
\]

car les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ sont strictement positives (par exemple en invoquant la formule du binôme de Newton en question 1.).
Re: Suites définies par récurrence
il y a quatre années
Quand tu postes une question de capes il serait utile de poster le sujet: la suite y constante nulle et la suite x que tu devines marchent

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Suites définies par récurrence
il y a quatre années
avatar
Bonjour, l'énoncé est rectifié dans la première page du document attaché. L'énoncé correct était « montrer qu'il existe deux suites d'entiers $(x_n)$ et $(y_n)$ tels que $(x_n+\sqrt{2}y_n)=(3+2\sqrt{2})^n$.

@christophe, j'ai supposé que répondre à la question 4.3 rendait la question 4.2 caduque car de 4.3 on déduit 4.2. Pour montrer que il existe un objet tel que « blabla » , il suffit d'en exhiber un exemple concret n'est-ce pas ?

Dans le sujet, on ne demande pas l'unicité mais je pense qu'il y a unicité, étant donné qu'on nous demande (ok, le sujet n'était pas clair au départ, voir le correctif en première page) deux suites d'entier, alors si $$x_{1}+\sqrt{2}y_1=3+2\sqrt{2}$$, on est d'accord qu'on a forcément $x_1=3$ et $y_1=2$.

En effet si $y_1$ et $x_1$ sont entiers, alors on peut factoriser par $\sqrt{2}$ qui est irrationnel, et on obtient $x_1-3+\sqrt{2}(y_1-2)=0$. Comme $x_1-3$ est entier relatif et $\sqrt{2}(y_1-2)$ est irrationnel, on a nécessairement $x_1-3=0$ et $y_1-2=0$ d'où le résultat.

Comme les conditions initiales sont uniques, le reste est clair sur l'unicité, c'est à dire il existe une et une seule suite qui répond aux conditions énoncées.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par albertine.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 2012_capes_ext_math_1_199908.pdf (662.6 KB)
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 733, Messages: 1 322 262, Utilisateurs: 24 187.
Notre dernier utilisateur inscrit htam.


Ce forum
Discussions: 30 228, Messages: 278 185.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page