Suites définies par récurrence

Bonjour,

pour situer le problème je m'intéresse à l'équation de Pell-Fermat (CAPES externe 2012, première composition).

Ici c'est la question 4 du problème 3.

On nous demande de montrer qu'il existe $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telles que $x_{n}+\sqrt{2}y_{n}=(3+2\sqrt{2})^n$.

4.1 Montrer l'existence de ces deux suites : voir la question 4.2
4.2 Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
Supposons qu'il existe $x_{1}+y_1\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})$. Posons alors $x_1=3$ et $y_1=2$.

Supposons maintenant que il existe $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ tels que $x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(x_{n}+y_{n}\sqrt{2})$. On obtient que
$$x_{n+1}+\sqrt{2}y_{n+1}=3x_n+2\sqrt{2}x_n+3\sqrt{2}y_n+4y_n$$
Enfin poursuivons, posons $x_{n+1}=3x_{n}+4y_{n}$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$. Alors on a défini deux suites :
$$(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}x_1=3\\ x_{n+1}=4y_n+3x_n\end{cases}\textrm{ et }(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}y_1=2\\ y_{n+1}=3y_n+2x_n\end{cases}$$
4.3 Montrer que ces deux suites sont strictement croissantes et que leur limite est $+\infty$
Ça me paraît évident que je n'arrive pas à le démontrer. J'ai écrit matriciellement :
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
d'où
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}^{n}
\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
On voit bien que les deux suites ne peuvent être que croissantes... Mais comment le montrer ? Toute indication bienvenue !

Pour la divergence, j'ai écrit : comme la somme des deux suites diverge, l'une au moins des deux suites diverge, car $\lim_{n\to\infty}(3+2\sqrt{2})^n=+\infty$. Mais si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge alors par définition $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge, donc les deux suites divergent.

Merci beaucoup !

PS : je pourrais tenter une preuve un peu laborieuse mais je pense qu'elle est juste, si vous voyez une autre méthode faites moi signe !

On sait que les suites $x_{n}$ et $y_{n}$ sont à termes positifs (par définition). Donc $y_{n+1}=2x_{n}+3y_{n}\geq 3y_{n}$ d'où $\frac{y_{n+1}}{y_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De même $x_{n+1}=3x_n+4y_n\geq 3x_n$, d'où $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De plus, ces deux suites sont minorées par des suites géométriques de raison 3, donc elles divergent.

PPS : je voulais vous demander si vous avez une preuve de convergence pour une puissance de matrice (condition nécessaire et suffisante qu'on pourrait utiliser en réalité pour n'importe quelle suite de matrice).