Suites définies par récurrence
Bonjour,
pour situer le problème je m'intéresse à l'équation de Pell-Fermat (CAPES externe 2012, première composition).
Ici c'est la question 4 du problème 3.
On nous demande de montrer qu'il existe $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telles que $x_{n}+\sqrt{2}y_{n}=(3+2\sqrt{2})^n$.
4.1 Montrer l'existence de ces deux suites : voir la question 4.2
4.2 Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
Supposons qu'il existe $x_{1}+y_1\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})$. Posons alors $x_1=3$ et $y_1=2$.
Supposons maintenant que il existe $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ tels que $x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(x_{n}+y_{n}\sqrt{2})$. On obtient que
$$x_{n+1}+\sqrt{2}y_{n+1}=3x_n+2\sqrt{2}x_n+3\sqrt{2}y_n+4y_n$$
Enfin poursuivons, posons $x_{n+1}=3x_{n}+4y_{n}$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$. Alors on a défini deux suites :
$$(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}x_1=3\\ x_{n+1}=4y_n+3x_n\end{cases}\textrm{ et }(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}y_1=2\\ y_{n+1}=3y_n+2x_n\end{cases}$$
4.3 Montrer que ces deux suites sont strictement croissantes et que leur limite est $+\infty$
Ça me paraît évident que je n'arrive pas à le démontrer. J'ai écrit matriciellement :
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
d'où
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}^{n}
\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
On voit bien que les deux suites ne peuvent être que croissantes... Mais comment le montrer ? Toute indication bienvenue !
Pour la divergence, j'ai écrit : comme la somme des deux suites diverge, l'une au moins des deux suites diverge, car $\lim_{n\to\infty}(3+2\sqrt{2})^n=+\infty$. Mais si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge alors par définition $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge, donc les deux suites divergent.
Merci beaucoup !
PS : je pourrais tenter une preuve un peu laborieuse mais je pense qu'elle est juste, si vous voyez une autre méthode faites moi signe !
On sait que les suites $x_{n}$ et $y_{n}$ sont à termes positifs (par définition). Donc $y_{n+1}=2x_{n}+3y_{n}\geq 3y_{n}$ d'où $\frac{y_{n+1}}{y_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De même $x_{n+1}=3x_n+4y_n\geq 3x_n$, d'où $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De plus, ces deux suites sont minorées par des suites géométriques de raison 3, donc elles divergent.
PPS : je voulais vous demander si vous avez une preuve de convergence pour une puissance de matrice (condition nécessaire et suffisante qu'on pourrait utiliser en réalité pour n'importe quelle suite de matrice).
pour situer le problème je m'intéresse à l'équation de Pell-Fermat (CAPES externe 2012, première composition).
Ici c'est la question 4 du problème 3.
On nous demande de montrer qu'il existe $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telles que $x_{n}+\sqrt{2}y_{n}=(3+2\sqrt{2})^n$.
4.1 Montrer l'existence de ces deux suites : voir la question 4.2
4.2 Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
Supposons qu'il existe $x_{1}+y_1\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})$. Posons alors $x_1=3$ et $y_1=2$.
Supposons maintenant que il existe $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ tels que $x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})(x_{n}+y_{n}\sqrt{2})$. On obtient que
$$x_{n+1}+\sqrt{2}y_{n+1}=3x_n+2\sqrt{2}x_n+3\sqrt{2}y_n+4y_n$$
Enfin poursuivons, posons $x_{n+1}=3x_{n}+4y_{n}$ et $y_{n+1}=2x_n+3y_n$. Alors on a défini deux suites :
$$(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}x_1=3\\ x_{n+1}=4y_n+3x_n\end{cases}\textrm{ et }(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}:\begin{cases}y_1=2\\ y_{n+1}=3y_n+2x_n\end{cases}$$
4.3 Montrer que ces deux suites sont strictement croissantes et que leur limite est $+\infty$
Ça me paraît évident que je n'arrive pas à le démontrer. J'ai écrit matriciellement :
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
d'où
$$\begin{bmatrix}3&4 \\ 2&3\end{bmatrix}^{n}
\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$$
On voit bien que les deux suites ne peuvent être que croissantes... Mais comment le montrer ? Toute indication bienvenue !
Pour la divergence, j'ai écrit : comme la somme des deux suites diverge, l'une au moins des deux suites diverge, car $\lim_{n\to\infty}(3+2\sqrt{2})^n=+\infty$. Mais si $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge alors par définition $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge, donc les deux suites divergent.
Merci beaucoup !
PS : je pourrais tenter une preuve un peu laborieuse mais je pense qu'elle est juste, si vous voyez une autre méthode faites moi signe !
On sait que les suites $x_{n}$ et $y_{n}$ sont à termes positifs (par définition). Donc $y_{n+1}=2x_{n}+3y_{n}\geq 3y_{n}$ d'où $\frac{y_{n+1}}{y_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De même $x_{n+1}=3x_n+4y_n\geq 3x_n$, d'où $\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq 3$, donc la suite est croissante. De plus, ces deux suites sont minorées par des suites géométriques de raison 3, donc elles divergent.
PPS : je voulais vous demander si vous avez une preuve de convergence pour une puissance de matrice (condition nécessaire et suffisante qu'on pourrait utiliser en réalité pour n'importe quelle suite de matrice).
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Réponses
Si la matrice est diagonalisable (dans un premier temps), alors dans quels cas "sa puissance converge".
Essayer de généraliser aux cas non diagonalisables.
Voir ici aussi : http://enseignement.math.univ-angers.fr/IMG/pdf/13-ep2.pdf
Edit : une coquille dans la définition de $(y_n)$ sous le $y_1=2$ ($x_n$)
Pour la croissance, je pense qu'en "gérant" les deux suites en même temps on s'en sort avec une méthode classique d'inégalité stricte (à première vue).
Pour la divergence : par l'absurde, si les deux suites (croissantes) convergent, alors ...
Le cas où une seule d'entre elles converge ne doit pas être oublié.
En ce qui me concerne, je ne comprends pas "comme la somme des deux suites converge".
(Je file désormais).
\[
\forall n\in\mathbb{N}^{*},x_{n+1}-x_{n}=2(x_{n}+2y_{n})>0\textrm{ et }y_{n+1}-y_{n}=2(x_{n}+y_{n})>0
\]
car les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ sont strictement positives (par exemple en invoquant la formule du binôme de Newton en question 1.).
@christophe, j'ai supposé que répondre à la question 4.3 rendait la question 4.2 caduque car de 4.3 on déduit 4.2. Pour montrer que il existe un objet tel que « blabla » , il suffit d'en exhiber un exemple concret n'est-ce pas ?
Dans le sujet, on ne demande pas l'unicité mais je pense qu'il y a unicité, étant donné qu'on nous demande (ok, le sujet n'était pas clair au départ, voir le correctif en première page) deux suites d'entier, alors si $$x_{1}+\sqrt{2}y_1=3+2\sqrt{2}$$, on est d'accord qu'on a forcément $x_1=3$ et $y_1=2$.
En effet si $y_1$ et $x_1$ sont entiers, alors on peut factoriser par $\sqrt{2}$ qui est irrationnel, et on obtient $x_1-3+\sqrt{2}(y_1-2)=0$. Comme $x_1-3$ est entier relatif et $\sqrt{2}(y_1-2)$ est irrationnel, on a nécessairement $x_1-3=0$ et $y_1-2=0$ d'où le résultat.
Comme les conditions initiales sont uniques, le reste est clair sur l'unicité, c'est à dire il existe une et une seule suite qui répond aux conditions énoncées.