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Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif

Envoyé par lemumu 
Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Bonjour,

L'étude de la suite ($x_n$) définie par: $x_{n+1}=1-x_n^2$ et $x_0\in ]0;1[$ me pose problème.

Soit $f$ la fonction définie sur ]0;1[ par $f(x)=1-x^2$.
$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc la suite $(x_n)$ est bien définie.
Sur ]0;1[, $f$ admet un seul point fixe $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$|f'(s)|>1$ donc s est un point répulsif.

$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc $f^2$ est bien définie sur ]0;1[.
Les points fixes de $f^2$ sont : $0$; $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $1$.

Ainsi :
$f^2(x)-x$ est négatif sur $]0;s[$
$f^2(x)-x$ s'annule en $s$
$f^2(x)-x$ est positif sur $]s;1[$

Avant d'étudier les suites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$, faut-il vérifier la stabilité de $]0;s[$ et $]s;1[$ par $f^2$?

En vous remerciant par avance pour votre aide.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par lemumu.
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
avatar
Citation
lemumu :
$f(]0;1[)\subset ]0;1[$ donc la suite $(x_n)$ est bien définie.

Pour la première affirmation "En êtes-vous bien sûr ?" ; pour la seconde, je ne vois pas le rapport. Maintenant, il s'agit peut-être de la formule de récurrence : $x_0 \in ]0,1[ \mathrm{\quad et \quad} \forall\,n \ x_{n+1} = 1 - x_n^2$ ?

Bruno
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Oui, j'avais fait une erreur. Je la corrige dans le premier message.
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
avatar
De toutes façons, la suite est définie pour tout entier $n$, la propriété $f(]0;1[) \subset ]0;1[$ se traduit en bon français par : l'intervalle $]0,1[$ est stable par $f$.

Sur $]0;1[$, $f$ admet un seul point fixe $s = -\dfrac{1+\sqrt 5}2$

Bis repetita Tu en es sûr ?

Bruno
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Excuse moi pour toutes ces erreurs qui sont des erreurs de frappe et de non relecture.
Le point fixe est : $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Je corrige dans le premier message et je vérifie qu'il n'y ait pas de coquilles.
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
avatar
Ca change tout, d'autant que je n'avais pas vérifié confused smiley.

"Avant d'étudier les suites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$, faut-il vérifier la stabilité de $]0;s[$ et $]s;1[$ par $f^2$? "

A priori, c'est indispensable ; qu'as-tu en tête ?

Bruno
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Deux banalités qui peuvent être utiles :
- Si une fonction $g$ est croissante, alors l'intervalle entre deux points fixes de $g$ est stable par $g$.
- Si $P(x)$ est un polynôme, alors le polynôme $P(P(x))-x$ est divisible par le polynôme $P(x)-x$.
Où en sommes-nous à c't'heure ?
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Il faudrait étudier $(x_{2n})$ suivant la position de $x_0$.
Si $x_0\in]0;s[$ alors $(x_{2n})$ est décroissante et minorée par $s$ donc converge vers $s$ point fixe de $f^2$ (car $f^2$ continue).
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $(x_{2n})$ est croissante et majorée par $1$ donc converge vers $1$ point fixe de $f^2$ (car $f^2$ continue).

Ensuite on étudie $x_{2n+1}$.
$f$ étant continue donc:
Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $s$.
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n+1})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $0=f(1)$.

Puis on conclut suivant les convergences des deux suites extraites.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par lemumu.
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Bon, c'est terminé, on conclut : ce n'est pas le verbe concluer, c'est le verbe conclure, il y a aussi de la logique dans la grammaire.
Prolongement : comportement de cette suite $u_n$ pour toutes valeurs de $u_0$ ?
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Merci beaucoup.
Le prolongement pourrait être celui proposé, oui.
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
bonsoir

le point fixe défini par $m = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ est en effet un point répulsif tel que

si $0 < u_0 < m$ alors tous les termes d'indice pair sont compris dans l'intervalle $[0 ; u_0]$
et les termes d'indice impair sont compris dans l'intervalle $[m ; 1]$
avec un écart grandissant par rapport à $m$

et si $m < u_0 < 1$ alors ce sont les termes impairs qui sont compris dans $[0 ; u_0]$
avec le même écart grandissant par rapport à $m$

tous les termes sont compris entre $0$ et $1$
et ta suite $(x)$ est alternée convergente vers $m$ d'une façon explosive mais encadrée par $0$ et $1$

une remarque : si tu retournes ta suite récurrente c'est-à-dire si tu considères la suite $y_{n+1} = \sqrt{1 - y_n}$ avec $0 < y_0 < 1$
alors le point fixe est identique mais cette fois-ci il est attractif
et la suite $y$ est alors alternée convergente vers $m$ cette fois-ci d'une façon implosive

cordialement
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
@ lemumu
Il faut corriger le cas $0<x_0<s$: $(x_{2n})$ converge vers 0 et $(x_{2n+1})$ converge vers 1.
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
@jandri
Merci pour la correction. Donc voici la conclusion:

$f$ étant continue donc:
Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $1=f(0)$.
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n+1})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $0=f(1)$.

Ainsi la suite ($x_n$) ne converge que si $x_0=s$ et est donc stationnaire à partir d'un certain rang.

Est-ce bien ça?

Merci
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Citation
jean lismonde:
tous les termes sont compris entre $0$ et $1$ et ta suite $(x)$ est alternée convergente vers $m$ d'une façon explosive mais encadrée par $0$ et $1$

Je ne comprends pas ce qui est dit, il me semblait que $(x)$ ne convergeait vers $m$ que si $x_0=m$.
Je n'ai rien dû comprendre.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lemumu.
Utilisateur anonyme
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
@lemunu : pour une raison mystérieuse, jean lismonde s'amuse à utiliser des notions de convergence exotiques sans le préciser et sans préciser ses définitions. C'est dommage car il est également compétent...

Note : je n'ai pas lu le fil en question ; je fais juste une remarque générale sur cet utilisateur.
Re: Étude de $x_{n+1}=1+x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
La fonction $f(x)=1-x^{2}$ admet deux points fixes : $\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, tels que : $\beta <-1<0<\alpha <1$.
Pour y voir plus clair, tracer le graphe de cette fonction en représentant sur le dessin la droite d'équation $y=x$.
Ces points fixes sont tous deux répulsifs : ils ne seront donc jamais la limite d'une suite $u_{n+1}=f(u_{n})$, sauf si un terme de cette suite est pile égal à l'un de ces points fixes, et alors la suite $u_n$ sera stationnaire à ce point fixe. Cette suite n'est donc convergente que si elle est stationniaire.

Si $u_{0}=\beta $ ou $u_{0}=-\beta $ alors la suite $u_n$ est stationnaire à la valeur $\beta$.

Si $u_{0}<\beta $ ou $u_{0}>-\beta $ alors $ \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=-\infty $.

Si $\beta <u_{0}<-\beta $ alors il existe $p \in \N$ tel que : $0\leq u_{p}\leq 1$. Il s'ensuit évidemment : $0\leq u_{n}\leq 1$ pour $n\geq p$.
On a vu ce qui se passe dans ce cas :
- ou bien il existe $q\geq p$ tel que $u_{q}=\alpha $, et la suite $u_n$ est stationnaire à la valeur $\alpha$.
- ou bien la suite extraite $u_{2m}$ a pour limite 0 ou 1, et la suite extraite $u_{2m+1}$ a pour limite 1 ou 0. Ce qui inclut le cas où ces suites sont stationnaires à 0 ou 1.

Bonne journée.
F. Ch.

Paname
quand tu t'habilles avec du gris
les couturiers n'ont qu'un souci
c'est d'foutr' en gris tout's les souris




Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
@lemumu
Tu es fâché avec les indices! Je corrige ton avant-dernier message:

Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_{2n})$ converge vers $1=f(0)$.
Si $x_0=s$ alors $(x_n)$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_{2n})$ converge vers $0=f(1)$.
Ainsi la suite $(x_n)$ ne converge que si $x_0=s$, elle est alors stationnaire à partir du premier terme.

Les convergences "implosive" et "explosive" de jean lismonde ne sont pas des convergences au sens usuel.
Re: Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
il y a quatre années
Merci jandri pour les rectifications. Je n'ai pas encore l'habitude de m'extirper du Latex.
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