Étude de $x_{n+1}=1-x_n^2$ et point répulsif
Bonjour,
L'étude de la suite ($x_n$) définie par: $x_{n+1}=1-x_n^2$ et $x_0\in ]0;1[$ me pose problème.
Soit $f$ la fonction définie sur ]0;1[ par $f(x)=1-x^2$.
$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc la suite $(x_n)$ est bien définie.
Sur ]0;1[, $f$ admet un seul point fixe $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$|f'(s)|>1$ donc s est un point répulsif.
$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc $f^2$ est bien définie sur ]0;1[.
Les points fixes de $f^2$ sont : $0$; $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $1$.
Ainsi :
$f^2(x)-x$ est négatif sur $]0;s[$
$f^2(x)-x$ s'annule en $s$
$f^2(x)-x$ est positif sur $]s;1[$
Avant d'étudier les suites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$, faut-il vérifier la stabilité de $]0;s[$ et $]s;1[$ par $f^2$?
En vous remerciant par avance pour votre aide.
L'étude de la suite ($x_n$) définie par: $x_{n+1}=1-x_n^2$ et $x_0\in ]0;1[$ me pose problème.
Soit $f$ la fonction définie sur ]0;1[ par $f(x)=1-x^2$.
$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc la suite $(x_n)$ est bien définie.
Sur ]0;1[, $f$ admet un seul point fixe $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$|f'(s)|>1$ donc s est un point répulsif.
$f(]0;1[)\subset]0;1[$ donc $f^2$ est bien définie sur ]0;1[.
Les points fixes de $f^2$ sont : $0$; $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $1$.
Ainsi :
$f^2(x)-x$ est négatif sur $]0;s[$
$f^2(x)-x$ s'annule en $s$
$f^2(x)-x$ est positif sur $]s;1[$
Avant d'étudier les suites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$, faut-il vérifier la stabilité de $]0;s[$ et $]s;1[$ par $f^2$?
En vous remerciant par avance pour votre aide.
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Réponses
Pour la première affirmation "En êtes-vous bien sûr ?" ; pour la seconde, je ne vois pas le rapport. Maintenant, il s'agit peut-être de la formule de récurrence : $x_0 \in ]0,1[ \mathrm{\quad et \quad} \forall\,n \ x_{n+1} = 1 - x_n^2$ ?
Bruno
Sur $]0;1[$, $f$ admet un seul point fixe $s = -\dfrac{1+\sqrt 5}2$
Bis repetita Tu en es sûr ?
Bruno
Le point fixe est : $s=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
Je corrige dans le premier message et je vérifie qu'il n'y ait pas de coquilles.
"Avant d'étudier les suites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$, faut-il vérifier la stabilité de $]0;s[$ et $]s;1[$ par $f^2$? "
A priori, c'est indispensable ; qu'as-tu en tête ?
Bruno
- Si une fonction $g$ est croissante, alors l'intervalle entre deux points fixes de $g$ est stable par $g$.
- Si $P(x)$ est un polynôme, alors le polynôme $P(P(x))-x$ est divisible par le polynôme $P(x)-x$.
Où en sommes-nous à c't'heure ?
Si $x_0\in]0;s[$ alors $(x_{2n})$ est décroissante et minorée par $s$ donc converge vers $s$ point fixe de $f^2$ (car $f^2$ continue).
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $(x_{2n})$ est croissante et majorée par $1$ donc converge vers $1$ point fixe de $f^2$ (car $f^2$ continue).
Ensuite on étudie $x_{2n+1}$.
$f$ étant continue donc:
Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $s$.
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n+1})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $0=f(1)$.
Puis on conclut suivant les convergences des deux suites extraites.
Prolongement : comportement de cette suite $u_n$ pour toutes valeurs de $u_0$ ?
Le prolongement pourrait être celui proposé, oui.
le point fixe défini par $m = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ est en effet un point répulsif tel que
si $0 < u_0 < m$ alors tous les termes d'indice pair sont compris dans l'intervalle $[0 ; u_0]$
et les termes d'indice impair sont compris dans l'intervalle $[m ; 1]$
avec un écart grandissant par rapport à $m$
et si $m < u_0 < 1$ alors ce sont les termes impairs qui sont compris dans $[0 ; u_0]$
avec le même écart grandissant par rapport à $m$
tous les termes sont compris entre $0$ et $1$
et ta suite $(x)$ est alternée convergente vers $m$ d'une façon explosive mais encadrée par $0$ et $1$
une remarque : si tu retournes ta suite récurrente c'est-à-dire si tu considères la suite $y_{n+1} = \sqrt{1 - y_n}$ avec $0 < y_0 < 1$
alors le point fixe est identique mais cette fois-ci il est attractif
et la suite $y$ est alors alternée convergente vers $m$ cette fois-ci d'une façon implosive
cordialement
Il faut corriger le cas $0<x_0<s$: $(x_{2n})$ converge vers 0 et $(x_{2n+1})$ converge vers 1.
Merci pour la correction. Donc voici la conclusion:
$f$ étant continue donc:
Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $1=f(0)$.
Si $x_0=s$ alors $(x_{2n+1})$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_n)$ converge vers $0=f(1)$.
Ainsi la suite ($x_n$) ne converge que si $x_0=s$ et est donc stationnaire à partir d'un certain rang.
Est-ce bien ça?
Merci
Je ne comprends pas ce qui est dit, il me semblait que $(x)$ ne convergeait vers $m$ que si $x_0=m$.
Je n'ai rien dû comprendre.
Note : je n'ai pas lu le fil en question ; je fais juste une remarque générale sur cet utilisateur.
Pour y voir plus clair, tracer le graphe de cette fonction en représentant sur le dessin la droite d'équation $y=x$.
Ces points fixes sont tous deux répulsifs : ils ne seront donc jamais la limite d'une suite $u_{n+1}=f(u_{n})$, sauf si un terme de cette suite est pile égal à l'un de ces points fixes, et alors la suite $u_n$ sera stationnaire à ce point fixe. Cette suite n'est donc convergente que si elle est stationniaire.
Si $u_{0}=\beta $ ou $u_{0}=-\beta $ alors la suite $u_n$ est stationnaire à la valeur $\beta$.
Si $u_{0}<\beta $ ou $u_{0}>-\beta $ alors $ \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=-\infty $.
Si $\beta <u_{0}<-\beta $ alors il existe $p \in \N$ tel que : $0\leq u_{p}\leq 1$. Il s'ensuit évidemment : $0\leq u_{n}\leq 1$ pour $n\geq p$.
On a vu ce qui se passe dans ce cas :
- ou bien il existe $q\geq p$ tel que $u_{q}=\alpha $, et la suite $u_n$ est stationnaire à la valeur $\alpha$.
- ou bien la suite extraite $u_{2m}$ a pour limite 0 ou 1, et la suite extraite $u_{2m+1}$ a pour limite 1 ou 0. Ce qui inclut le cas où ces suites sont stationnaires à 0 ou 1.
Bonne journée.
F. Ch.
[small]Paname
quand tu t'habilles avec du gris
les couturiers n'ont qu'un souci
c'est d'foutr' en gris tout's les souris[/small]
Tu es fâché avec les indices! Je corrige ton avant-dernier message:
Si $x_0\in]0;s[$ alors $x_{2n+1}=f(x_{2n})$ converge vers $1=f(0)$.
Si $x_0=s$ alors $(x_n)$ est stationnaire.
Si $x_0\in]s;1[$ alors $x_{2n+1}=f(x_{2n})$ converge vers $0=f(1)$.
Ainsi la suite $(x_n)$ ne converge que si $x_0=s$, elle est alors stationnaire à partir du premier terme.
Les convergences "implosive" et "explosive" de jean lismonde ne sont pas des convergences au sens usuel.