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distance

Envoyé par dfshr8 
distance
il y a quatre années
Bonjour,

"Comment prouver que $(x,y) \to d(x,y)$ est continue".

Le cadre est mal définit, j'imagine que le cas le plus général est celui où l'espace de départ est topologique (on le note $(E, \mathcal{T})$) (pour parler de continuité!).
Enfin pour que tout celà ait un sens E doit être métrisable (en effet la distance est définit sur les "espaces métriques")! Notons (E,d) un tel espace.

Maintenant $ExE$ est munit de la topologie produit.
1) On sait qu'il est plus facile de travailler dans les espaces métriques, quelle distance est équivalente à la topologie produit (dans un produit finit) ? Notons $d_{E^2}$ une telle distance (on verra ensuite ce que l'on utilise)

Pour montrer la continuité il suffit de monter la caractère lipshitzien: $|d(x,y)-d(u,v)|\leq k d_{E^2}((x,y),(u,v)) $...
Si l'on prend la distance associée à la norme 1, on a bien: $|d(x,y)-d(u,v)|\leq d(x,u)+d(y,v) $ qui résulte de l'inégalité triangulaire(d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y))



Edité 7 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par dfshr8.
Re: distance
il y a quatre années
Le cadre usuel est celui où la topologie est celle induite par "la distance" que tu sembles appeler $d$ mais dont tu n'as pas dit si c'est une distance. Si c'est une application quelconque, no way.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: distance
il y a quatre années
J'irais plus loin (je serais plus explicite) : il faut préciser l'espace de départ, l'espace d'arrivée (qui semble être $\mathbb R^+$) et les topologies sur chacun des espaces (éventuellements les distances).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Dom.
Re: distance
il y a quatre années
2) Qu'est ce qui est fait ici ? Il faudrait ajouter les lignes suivantes:
$d(a_n,b_n) \leq \delta(A) \forall n$ par définition du sup.
Comme d est continue: $\lim_n d(a_n,b_n)$ est bien définie et vaut $d(a,b)=\lim_n d(a_n,b_n)$ (continuité implique en particulier séquentiellement continuité )
Par compatibilité de la relation d'ordre avec la limite (ça vient d'où déjà ?) on a :$d(a,b)=\lim_n d(a_n,b_n) \leq \delta(A) $

Ceci est vrai $\forall a,b$ donc en particulier pour le sup.

Rmq: $\delta(A)$ représente le diamètre d'une partie



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par dfshr8.


Re: distance
il y a quatre années
Tu édites 36000 fois tes posts, tu ne réponds pas aux intervenants (dom t'a posé une question pour t'aider), tu continues sur autre chose...

Tu ne donnes pas envie qu'on t'aide, tu risques de parler tout seul.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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