distance

Bonjour,

"Comment prouver que $(x,y) \to d(x,y)$ est continue".

Le cadre est mal définit, j'imagine que le cas le plus général est celui où l'espace de départ est topologique (on le note $(E, \mathcal{T})$) (pour parler de continuité!).
Enfin pour que tout celà ait un sens E doit être métrisable (en effet la distance est définit sur les "espaces métriques")! Notons (E,d) un tel espace.

Maintenant $ExE$ est munit de la topologie produit.
1) On sait qu'il est plus facile de travailler dans les espaces métriques, quelle distance est équivalente à la topologie produit (dans un produit finit) ? Notons $d_{E^2}$ une telle distance (on verra ensuite ce que l'on utilise)

Pour montrer la continuité il suffit de monter la caractère lipshitzien: $|d(x,y)-d(u,v)|\leq k d_{E^2}((x,y),(u,v)) $...
Si l'on prend la distance associée à la norme 1, on a bien: $|d(x,y)-d(u,v)|\leq d(x,u)+d(y,v) $ qui résulte de l'inégalité triangulaire(d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y))