Intégrale de Gauss translatée
Bonjour,
Je cherche à calculer l'intégrale $$\int_{||x||>K}^{\infty} e^{-||x||^2} dx$$ où $K$ est un réel strictement positif. $x$ est une variable dans $\mathbb{R}^d$ où $d \ge 1$. J'ai essayé d'adapter les deux démonstrations que je connais pour le calcul de l'intégrale de Gauss (en gros les deux de Wikipédia), mais sans succès. Quelqu'un aurait une indication à me suggérer?
Merci
Je cherche à calculer l'intégrale $$\int_{||x||>K}^{\infty} e^{-||x||^2} dx$$ où $K$ est un réel strictement positif. $x$ est une variable dans $\mathbb{R}^d$ où $d \ge 1$. J'ai essayé d'adapter les deux démonstrations que je connais pour le calcul de l'intégrale de Gauss (en gros les deux de Wikipédia), mais sans succès. Quelqu'un aurait une indication à me suggérer?
Merci
Réponses
-
C'est sûrement tacite mais quelle est la norme ?
-
Tu cherches la queue de répartition d'une gaussienne. Il n'y a pas de formule fermée pour cette fonction. Cela peut même se démontrer par la théorie de Galois différentielle.
-
La norme euclidienne $||x||^2 = x_{1}^2 + ... + x_{d}^2$
-
Ah zut... bon ben je vais me contenter de la majorer par un truc qui m'arrange, ça me suffira.
La théorie de Galois différentielle on m'en a déjà parlé à plusieurs reprises mais je ne connais pas. Si tu as des références là-dessus, je veux bien, ça peut toujours être utile.
Merci -
Va voir dans l'extrait ici http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre.php le théorème d'intégration d'une fonction radiale.
Grâce à ce théorème, ton intégrale s'écrit comme le volume de la boule unité fois une intégrale 1 dimensionnelle, dont on a facilement des développements asymptotiques avec des intégrations par parties. -
Heu, c'est explicitement calculable pour les valeurs paires de $d$ comme $\int_a^{\infty}e^{-r^2}r^{d-1}dr.$
-
Ah, oui, tiens, c'est marrant, ça veut dire qu'on a une expression explicite de la fonction de répartition de la loi du $\chi^2$ de degré pair.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres