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Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale $$\int_{||x||>K}^{\infty} e^{-||x||^2} dx$$ où $K$ est un réel strictement positif. $x$ est une variable dans $\mathbb{R}^d$ où $d \ge 1$. J'ai essayé d'adapter les deux démonstrations que je connais pour le calcul de l'intégrale de Gauss (en gros les deux de Wikipédia), mais sans succès. Quelqu'un aurait une indication à me suggérer?

Merci
Dom
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
C'est sûrement tacite mais quelle est la norme ?
afk
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
Tu cherches la queue de répartition d'une gaussienne. Il n'y a pas de formule fermée pour cette fonction. Cela peut même se démontrer par la théorie de Galois différentielle.
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
La norme euclidienne $||x||^2 = x_{1}^2 + ... + x_{d}^2$
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
Ah zut... bon ben je vais me contenter de la majorer par un truc qui m'arrange, ça me suffira.
La théorie de Galois différentielle on m'en a déjà parlé à plusieurs reprises mais je ne connais pas. Si tu as des références là-dessus, je veux bien, ça peut toujours être utile.

Merci
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
avatar
Va voir dans l'extrait ici [iecl.univ-lorraine.fr] le théorème d'intégration d'une fonction radiale.

Grâce à ce théorème, ton intégrale s'écrit comme le volume de la boule unité fois une intégrale 1 dimensionnelle, dont on a facilement des développements asymptotiques avec des intégrations par parties.
P.
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
Heu, c'est explicitement calculable pour les valeurs paires de $d$ comme $\int_a^{\infty}e^{-r^2}r^{d-1}dr.$
Re: Intégrale de Gauss translatée
il y a quatre années
avatar
Ah, oui, tiens, c'est marrant, ça veut dire qu'on a une expression explicite de la fonction de répartition de la loi du $\chi^2$ de degré pair.
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