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passage dans DL

Envoyé par Educ 
passage dans DL
il y a quatre années
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Bonjour,

Pourriez vous m'expliquer le passage suivant : $$a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\, \text{donc}\quad a_{p}-b_{p}\underset{x\to a}{=}o(1)$$ en effet, \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p} - b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ???
\end{align} Ce que je sais c'est que l'addition de deux petits $o$ est un petit $o$. $$
o((x-a)^{p})+o((x-a)^{p})=o((x-a)^{p})$$ si le cas pour la soustraction on peut écrire : \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p}-b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=} \frac{1}{(x-a)^{p}}o((x-a)^{p}) \text{ car } x\neq a \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o( \frac{1}{(x-a)^{p}}(x-a)^{p}) \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o(1)
\end{align} donc $\lim\limits_{x\to a } a_p-b_p=0$
Merci d'avance.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: passage dans DL
il y a quatre années
Une coquille sur la deuxième ligne de calcul :
$a_{p}(x-a)^{p}$ - $b_{p}(x-a)^{p}$ $\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p})$
Re: passage dans DL
il y a quatre années
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@dom

merci j'ai rectifié la coquille
Dom
Re: passage dans DL
il y a quatre années
Pour mieux appréhender les $o$, tu peux passer par la définition : il existe une fonction $\epsilon$ qui tend vers $0$ etc.

C'est plus long mais cela permet une meilleure compréhension de ce que l'on fait.
Tu peux aussi essayer de démontrer "les" propriétés liées aux $o$ : somme, produit, différence, quotient, composition (quand cela a un sens).

Merci Philippe Malot winking smiley

(De rien ! PM)



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: passage dans DL
il y a quatre années
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Le point clé, c'est la troncature. On a $p\le n$. Par conséquent, si une fonction est négligeable devant $(x-a)^n$, elle est a fortiori négligeable devant $(x-a)^p$ (car $(x-a)^n=(x-a)^p(x-a)^{n-p}$ et $(x-a)^{n-p}$ est bornée au voisinage de $a$).

Première version : Avec la même idée, on a : $o\bigl((x-a)^p\bigr)=(x-a)^p\times o(1)$. De \[a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\]
on tire donc :
\[a_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\]
puis en simplifiant (pour $x\ne a$) :
\[a_{p}+o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}+o(1),\]
d'où $a_p=b_p$ par passage à la limite.

Deuxième version : Posons $g(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}a_k(x-a)^k=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}b_k(x-a)^k$.

Dire que $g(x)=a_p+o((x-a)^p)$, c'est dire qu'il existe une fonction $\epsilon$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)$ (pas de mystère sur $\epsilon$, on a $\epsilon(x)=(g(x)-a_p)/(x-a)^p$ pour $x\ne a$ et $\epsilon(a)=0$). De même, il existe une fonction $\eta$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)$. Mais alors, en simplifiant par $(x-a)^p$ pour $x\ne a$, il vient :
\[a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)\quad
\text{donc}
a_p+\epsilon(x)=b_p+\eta(x),\]
d'où en passant à la limite : $a_p=b_p$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Jer anonyme.
Re: passage dans DL
il y a quatre années
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@Jer anonyme

j'ai bien compris la version 1 mais concernant mon raisonnement est correcte ??
pour la 2eme version vous avez passer par la définition de petit o comme ma dit Monsieur Dom

merci beaucoup
Re: passage dans DL
il y a quatre années
Je n'aime pas trop la façon dont c'est rédigé, ce n'est pas vraiment un raisonnement par l'absurde. Nul besoin de supposer a priori qu'ils sont différents, justement on montre qu'ils sont nécessairement égaux...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: passage dans DL
il y a quatre années
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D'accord avec la réserve de Héhéhé (ou d'Héhéhé ?) mais elle parle du livre/poly, pas d'Educ.
Oui, le raisonnement est correct, c'est juste que la rédaction décomposée à ce point, ça m'a découragé de lire.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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bonjour,

désole de dérangement encore une fois mais je voudrais d'etre sure de ce passage:

$$o(x)-o(x)=o(x)$$

merci d'avance
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a "moins" une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a est égale à une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a.
Il faut méditer cela.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Dom
Merci mais moi, je raisonne comme ça, et je ne sais pas si c'est correct ou non
\begin{align}
o(x)-o(x)&=o(x)+o(-x)\\
&=o(x)+o(x)& \text{petit o absorbe les constantes multiplicatives}\\
&=o(x) & \text{la somme de deux petits o est un petit o}
\end{align} Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Oui c'est juste.
Ma phrase peut se dire "la différence de deux petite o est un petit o" (comme pour la somme).
Cependant, attention car ces phrases ne signifient pas grand chose sorties de leurs contextes et sont même fausses car incomplètes (petit o "de quoi" en quel point).
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Dom


oui j'ai oublie d'ajouter $x \to a$ merci beaucoup pour vos explications
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
Bonjour, s'il vous plait, je n'ai pas compris le passage suivant
Question. $$
\frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})
\implies
\ln(1+x)\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
$$
Mes pensées.
On a $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}\ (-1)^{k}x^{k}+o(x^{n}) $
\begin{align}
\frac{1}{1+x}&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})\\
\text{Primitivons, sachant que }\ln(1)=0 \\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(\frac{x^{n}}{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{par les opérations sur les petit o}\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{changement d'indice } k+1=t,
\end{align} faisons un changement d'indice : $ t=k+1 $ quand $k = 0 \implies t=1$ et quand $k = n-1 \implies t=n$ et $k=t-1$ donc \begin{align}
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
\end{align} Ce qui contredit le résultat que je dois trouver, pouvez-vous me rectifier où j'ai fait l'erreur ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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Bonjour,

peux-t-on remplacer $(-1)^{k-1} $ par $(-1)^{k+1}$ si oui pourriez vous m'expliquer pourquoi merci
Re: passage dans DL
il y a trois années
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\[(-1)^{k-1}=(-1)^{k}\times(-1)^{-1}=(-1)^k\times\frac1{(-1)}=(-1)^k\times(-1)=(-1)^{k+1}.\]
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Et bien je te laisse trouver.
Il suffit d'écrire ce que signifie la puissance $k-1$ et la puissance $k+1$.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Jer anonyme

merci beaucoup pour votre explication

@Dom

merci

$$(-1)^{k+1}=(-1)^{k-1+2}=(-1)^{k-1}(-1)^2=(-1)^{k-1}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Educ.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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pourquoi on doit travaille par $k+1$ au lieu de $k-1$ puisqu'il sont égaux

merci
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Une tentative d'explication mais d'autres ont sûrement de meilleures approches :

Dans la formule de départ on a : $(-1)^kx^k$ =$(-x)^k$.

Dans la formule finale, apres intégration


Je m'arrête : selon les auteurs, c'est l'une ou l'autre des écritures.

Exemples : [www.h-k.fr] ou [www.panamaths.net]

Peut-être est-ce lié aux preuves qui peuvent être différentes (et la puissance, selon la preuve, devient naturellement k-1 ou k+1).
Il me semble aussi que l'on préfère les puissances entières positives pour tout k.
Parfois (ici, je ne sais pas) c'est aussi un choix pour retenir la "formule".

Mais bon, encore une fois, c'est pareil.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Dom.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Dom

merci infiniment !
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
Bonjour,




j'ai essaye de comprendre comment l'auteur a fait pour trouve DL de la fonction $x\longmapsto sh(x)$ et $x\longmapsto ch(x)$


on a en effet

$$\forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})$$

alors ${\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}+o(x^{n})}$ après composition par $x\mapsto -x$.

or on sait que $sh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ donc

\begin{align}
sh(x)&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\
&=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}-o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{x^{k}}{k!}-\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
\end{align}

ce qui contredit le résultat voulu.

merci d'avance
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Essaye de distinguer selon les valeurs de $k$ (entiers naturels) la quantité suivante :
$\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Dom

salut,

donc mon raisonnement est correct il me reste que distinguer selon les valeurs de $k$ (entiers naturels) la quantité suivante :
$$ \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$$
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
D'ailleurs les deux dernières phrases de ton document expliquent...
Je n'ai pas vu d'erreurs a priori.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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$\forall k \in [|0,n |],\quad \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$

Si $k$ est impaire: alors : $\exists k^{'}\in \mathbb{N},\ k=2k'+1,\quad \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}= \dfrac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}= \dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} $

$k=2k'+1,\quad k'=\dfrac{k-1}{2},$ quand $k=0$ alors $k'=-\dfrac{1}{2}???$ et quand $k=n$ alors $k'=\dfrac{n-1}{2}$ donc $$
sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{n-1}{2}}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{n})\right)
$$ Je sais que ça ce n'est pas bon mais j'ai essayé comme quand même.
Pour le cas ou $k$ est paire $\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}=0$

Merci d'avance



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Ne t'embête pas trop à revenir au "k" d'origine.
Aussi, attention à ton étude : tu dis "k impair" puis après tu parles de "si k=0" voilà pourquoi tu obtiens une incohérence.

Regarde bien ton document : les lettres k et n ne jouent pas le même rôle que les tiennes.
Tu y es, prends un peu de recul sur tes calculs.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Dom.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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@Dom merci ,veuillez vérifier mon raisonnement

j'ai dis que k est impaire alors le premier terme sera affecte a lui est $1$ donc quand $k=1$ alors $k'=0$

et que $n$ est impaire egalement donc $n=2n'+1$

$$sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k'=0}^{2n'+1}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{2n'+1})\right)$$

comme $k', n'$ sont des variables mutuelle donc
$$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$$
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Non ! Si tu vas jusqu'à $2n+1$ alors ton dernier terme est en " $2$x$(2n+1)+1$ ".
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
sil vous plait pourquoi si j'ai $n$ mon, dernier terme sera $2n+1$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Educ.
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Regarde, quel est le dernier terme de cette somme :

$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
Re: passage dans DL
il y a trois années
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oui cest $2n+1$ pourriez vous mexplique comment je peux arriver a lui sachant que j'ai mon dernier terme est n et que k est impaire

merci d'avance
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Je corrige :

$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$

doit être remplacé par :

$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
@dom

bonjour,

merci mais s'il vous plait pourriez vous m'expliquer pourquoi on conserve $n$ qui est dans la somme et on a change $n$ a$ 2n+1$ dans le petit o
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
bonjour,

je viens de remarque que n qui est dans $o(x^{n})$ ne depend pas de n qui est dans la somme

de plus en générale comment on peut décomposer la somme dépend la parité de $k$ :

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}=\sum_{k est impaire }^{}a_{k}+\sum_{k est paire }^{}a_{k}$$

mon problème est situé dans la manipulation de decomposition de la somme lorsque k est impaire et k paire
merci d'avance



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Educ.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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voila apres quelque recherche j'ai trouvé la formule en question mais si vous pouvez m'expliquer comment on peut la trouver



merci
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
On va tout refaire :

La formule à l'ordre $N$ :

$\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$

Après étude on prouve que la formule vaut :

$\frac{1}{2}(\sum_{k=0, k…impair}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$

On se place dans le cas où $N$ est impair : $N=2m+1$ et on ne tient compte que des $2j+1$ (c'est-à-dire les nombres impairs) entre $0$ et $N=2m+1$. On simplifie le $2$ également

$(\sum_{j=0}^{m}( \frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}))+o(x^{N})$
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
En effet le petit o est en dehors de la somme.
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
@Dom
Merci beaucoup
Pourriez-vous me corriger mon raisonnement suivant pour la somme ? \begin{align}
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est pair}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est impair}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k' \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k'+1 \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2} }}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2}\\ k=0 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n}{2}}}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2}\\ \text{comme $k$ est impair va commencer par 1 et pas 0} k=1 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{k'=0}^{ n/2 } a_{2k'} +
\sum_{k'=0}^{ (n-1)/2 }a_{2k'+1}\\
&\text{comme $\frac{n}{2}$ et $\frac{n-1}{2}$ sont pas des nombres relatifs donc on ajoute la partie entière}\\
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2k} +
\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}a_{2k+1}\\
\end{align} Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Désolé, on se perd dans tout ça.
Par exemple, la première égalité est juste, la seconde aussi mais la troisième ... non.
En règle général, de chaque ligne on doit pourvoir déduire la suivante ou la précédente puisque ce sont des égalités (quelques exceptions mais pas ici).
Bref.

Aussi, les implications sous les sommes ne sont pas habituelles ( à ma connaissance).
Le raisonnement ne doit pas faire partie de l'écriture d'une somme.

De toutes manières, tu as compris je pense la preuve écrite dans ton document.
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
@Dom
merci beaucoup pour vos explications mais j'ai une autre question j'ai vu votre demo à savoir : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Mais si je veux partir de là $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})
$$ pour arriver au résultat voulu : $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
$$ on a effet, \begin{align}
sh(x)&\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=0 +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{2)x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=
\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
&\text{ces quelques passage je voudrais les savoir merci }\\
sh(x)&\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
\end{align} Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Bon, je fais un effort, mais ce n'est vraiment pas important.


$S= \sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})$

Je me place dans le cas où $n$ est impair : $n=2m+1$
Alors : $E((n-1)/2) = m$


$S= \sum_{k=0}^{m}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2m+1})$

Il n'y a rien à faire.
Par contre, attention de ne pas s'embrouiller avec l'entier $n$ qui est l'ordre choisi pour le DL et d'autres lettres qui sont muettes ou qui dépendent de $n$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Dom.
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
Bonjour,

@Dom

un grand merci pour vos efforts, juste une question, si j'ai bien compris $m$ dépend de $n$ et que $k$ muette n'est ce pas

merci d'avance
Dom
Re: passage dans DL
il y a trois années
Oui c'est cela.
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
merci beaucoup et désole pour le derangement
Re: passage dans DL
il y a trois années
avatar
Bonjour,
On sait que le $DL_{0}^{n}$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$(1+x)^a \underset{x\to 0}= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n + o(x^n)
$$ Mais si je me place dans le cas ou $\alpha \in \mathbb{N}$ est ce que je peux écrire ça : $$(1+x)^n \underset{x\to 0}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}+o(x^{n})
$$ Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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Oui mais c'est sans intérêt puisque l'on a : \[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.
\] Ce qui est intéressant, c'est que pour tout $p\le n$, on a : \[(1+x)^n=\sum_{k=0}^p\binom{n}{k}x^k+o(x^p).
\] Par exemple : \begin{align*}
(1+x)^3&=1+3x+o(x),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+o(x^2),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+x^3.
\end{align*}



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Re: passage dans DL
il y a trois années
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oui on applique d'abord la formule de binôme puis on s’arrête jusqu’à l'ordre demande

merci
Re: passage dans DL
il y a trois années
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Bonjour,

je voudrais savoir comment dérivé une somme $\sum $en générale et sous quelle conditions, par exemple pour avoir Le $DL_{0}^{n}$ de $\dfrac{1}{(1-x)^{2}}$ il suffit de dériver Le $DL_{0}^{n+1}$ de $\dfrac{1}{(1-x)}$ pour cela il ont passé par dérivation d'une somme :



je sais bien qu'il s'agit d'une dérivation de la somme de série géométrique mais je me demande dans le cas ou il s'agit pas d'une dérivation d'une sérié typique comment fait pour dérive une somme en générale sous quelle condition d'abord ici dans l'exemple en question, elle est de $\mathcal{C}^{n}$ donc assez régulière


merci d'avance
Re: passage dans DL
il y a trois années
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Autre question :
remarquons que $$\dfrac{1}{1-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1}).$$ dérivons par rapport $x$ : \begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)&\underset{x\to 0}= \frac{d}{dx}\left(\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1})\right)\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 1}^{n}kx^{k-1} \right)+o((n+1)x^{n})\\
&\text{changement d'indice } l=k-1\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 0}^{n-1}(k+1)x^{k} \right)+o(x^{n})\\
\end{align} donc j'ai trouvé que varie entre $0$ et $n-1$ et pas entre $0$ et $n$
Pouvez-vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.



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