passage dans DL
Bonjour,
Pourriez vous m'expliquer le passage suivant : $$a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\, \text{donc}\quad a_{p}-b_{p}\underset{x\to a}{=}o(1)$$ en effet, \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p} - b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ???
\end{align} Ce que je sais c'est que l'addition de deux petits $o$ est un petit $o$. $$
o((x-a)^{p})+o((x-a)^{p})=o((x-a)^{p})$$ si le cas pour la soustraction on peut écrire : \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p}-b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=} \frac{1}{(x-a)^{p}}o((x-a)^{p}) \text{ car } x\neq a \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o( \frac{1}{(x-a)^{p}}(x-a)^{p}) \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o(1)
\end{align} donc $\lim\limits_{x\to a } a_p-b_p=0$
Merci d'avance.
Pourriez vous m'expliquer le passage suivant : $$a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\, \text{donc}\quad a_{p}-b_{p}\underset{x\to a}{=}o(1)$$ en effet, \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p} - b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ???
\end{align} Ce que je sais c'est que l'addition de deux petits $o$ est un petit $o$. $$
o((x-a)^{p})+o((x-a)^{p})=o((x-a)^{p})$$ si le cas pour la soustraction on peut écrire : \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p}-b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=} \frac{1}{(x-a)^{p}}o((x-a)^{p}) \text{ car } x\neq a \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o( \frac{1}{(x-a)^{p}}(x-a)^{p}) \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o(1)
\end{align} donc $\lim\limits_{x\to a } a_p-b_p=0$
Merci d'avance.
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Réponses
$a_{p}(x-a)^{p}$ [large]-[/large] $b_{p}(x-a)^{p}$ $\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p})$
merci j'ai rectifié la coquille
C'est plus long mais cela permet une meilleure compréhension de ce que l'on fait.
Tu peux aussi essayer de démontrer "les" propriétés liées aux $o$ : somme, produit, différence, quotient, composition (quand cela a un sens).
[small]Merci Philippe Malot[/small] ;-)
[small](De rien ! PM)[/small]
Première version : Avec la même idée, on a : $o\bigl((x-a)^p\bigr)=(x-a)^p\times o(1)$. De \[a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\]
on tire donc :
\[a_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\]
puis en simplifiant (pour $x\ne a$) :
\[a_{p}+o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}+o(1),\]
d'où $a_p=b_p$ par passage à la limite.
Deuxième version : Posons $g(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}a_k(x-a)^k=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}b_k(x-a)^k$.
Dire que $g(x)=a_p+o((x-a)^p)$, c'est dire qu'il existe une fonction $\epsilon$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)$ (pas de mystère sur $\epsilon$, on a $\epsilon(x)=(g(x)-a_p)/(x-a)^p$ pour $x\ne a$ et $\epsilon(a)=0$). De même, il existe une fonction $\eta$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)$. Mais alors, en simplifiant par $(x-a)^p$ pour $x\ne a$, il vient :
\[a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)\quad
\text{donc}
a_p+\epsilon(x)=b_p+\eta(x),\]
d'où en passant à la limite : $a_p=b_p$.
j'ai bien compris la version 1 mais concernant mon raisonnement est correcte ??
pour la 2eme version vous avez passer par la définition de petit o comme ma dit Monsieur Dom
merci beaucoup
Oui, le raisonnement est correct, c'est juste que la rédaction décomposée à ce point, ça m'a découragé de lire.
désole de dérangement encore une fois mais je voudrais d'etre sure de ce passage:
$$o(x)-o(x)=o(x)$$
merci d'avance
Il faut méditer cela.
Merci mais moi, je raisonne comme ça, et je ne sais pas si c'est correct ou non
\begin{align}
o(x)-o(x)&=o(x)+o(-x)\\
&=o(x)+o(x)& \text{petit o absorbe les constantes multiplicatives}\\
&=o(x) & \text{la somme de deux petits o est un petit o}
\end{align} Merci
Ma phrase peut se dire "la différence de deux petite o est un petit o" (comme pour la somme).
Cependant, attention car ces phrases ne signifient pas grand chose sorties de leurs contextes et sont même fausses car incomplètes (petit o "de quoi" en quel point).
oui j'ai oublie d'ajouter $x \to a$ merci beaucoup pour vos explications
Question. $$
\frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})
\implies
\ln(1+x)\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
$$
Mes pensées.
On a $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}\ (-1)^{k}x^{k}+o(x^{n}) $
\begin{align}
\frac{1}{1+x}&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})\\
\text{Primitivons, sachant que }\ln(1)=0 \\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(\frac{x^{n}}{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{par les opérations sur les petit o}\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{changement d'indice } k+1=t,
\end{align} faisons un changement d'indice : $ t=k+1 $ quand $k = 0 \implies t=1$ et quand $k = n-1 \implies t=n$ et $k=t-1$ donc \begin{align}
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
\end{align} Ce qui contredit le résultat que je dois trouver, pouvez-vous me rectifier où j'ai fait l'erreur ?
Merci d'avance.
peux-t-on remplacer $(-1)^{k-1} $ par $(-1)^{k+1}$ si oui pourriez vous m'expliquer pourquoi merci
Il suffit d'écrire ce que signifie la puissance $k-1$ et la puissance $k+1$.
merci beaucoup pour votre explication
@Dom
merci
$$(-1)^{k+1}=(-1)^{k-1+2}=(-1)^{k-1}(-1)^2=(-1)^{k-1}$$
merci
Dans la formule de départ on a : $(-1)^kx^k$ =$(-x)^k$.
Dans la formule finale, apres intégration
Je m'arrête : selon les auteurs, c'est l'une ou l'autre des écritures.
Exemples : http://www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf ou http://www.panamaths.net/Documents/Formulaires/FORMU_DSEUSUELS.pdf
Peut-être est-ce lié aux preuves qui peuvent être différentes (et la puissance, selon la preuve, devient naturellement k-1 ou k+1).
Il me semble aussi que l'on préfère les puissances entières positives pour tout k.
Parfois (ici, je ne sais pas) c'est aussi un choix pour retenir la "formule".
Mais bon, encore une fois, c'est pareil.
merci infiniment !
j'ai essaye de comprendre comment l'auteur a fait pour trouve DL de la fonction $x\longmapsto sh(x)$ et $x\longmapsto ch(x)$
on a en effet
$$\forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})$$
alors ${\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}+o(x^{n})}$ après composition par $x\mapsto -x$.
or on sait que $sh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ donc
\begin{align}
sh(x)&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\
&=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}-o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{x^{k}}{k!}-\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
\end{align}
ce qui contredit le résultat voulu.
merci d'avance
$\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$
salut,
donc mon raisonnement est correct il me reste que distinguer selon les valeurs de $k$ (entiers naturels) la quantité suivante :
$$ \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$$
Je n'ai pas vu d'erreurs a priori.
Si $k$ est impaire: alors : $\exists k^{'}\in \mathbb{N},\ k=2k'+1,\quad \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}= \dfrac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}= \dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} $
$k=2k'+1,\quad k'=\dfrac{k-1}{2},$ quand $k=0$ alors $k'=-\dfrac{1}{2}???$ et quand $k=n$ alors $k'=\dfrac{n-1}{2}$ donc $$
sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{n-1}{2}}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{n})\right)
$$ Je sais que ça ce n'est pas bon mais j'ai essayé comme quand même.
Pour le cas ou $k$ est paire $\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}=0$
Merci d'avance
Aussi, attention à ton étude : tu dis "k impair" puis après tu parles de "si k=0" voilà pourquoi tu obtiens une incohérence.
Regarde bien ton document : les lettres k et n ne jouent pas le même rôle que les tiennes.
Tu y es, prends un peu de recul sur tes calculs.
j'ai dis que k est impaire alors le premier terme sera affecte a lui est $1$ donc quand $k=1$ alors $k'=0$
et que $n$ est impaire egalement donc $n=2n'+1$
$$sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k'=0}^{2n'+1}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{2n'+1})\right)$$
comme $k', n'$ sont des variables mutuelle donc
$$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$$
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
merci d'avance
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
doit être remplacé par :
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
bonjour,
merci mais s'il vous plait pourriez vous m'expliquer pourquoi on conserve $n$ qui est dans la somme et on a change $n$ a$ 2n+1$ dans le petit o
je viens de remarque que n qui est dans $o(x^{n})$ ne depend pas de n qui est dans la somme
de plus en générale comment on peut décomposer la somme dépend la parité de $k$ :
$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}=\sum_{k est impaire }^{}a_{k}+\sum_{k est paire }^{}a_{k}$$
mon problème est situé dans la manipulation de decomposition de la somme lorsque k est impaire et k paire
merci d'avance
merci
La formule à l'ordre $N$ :
$\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$
Après étude on prouve que la formule vaut :
$\frac{1}{2}(\sum_{k=0, k…impair}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$
On se place dans le cas où $N$ est impair : $N=2m+1$ et on ne tient compte que des $2j+1$ (c'est-à-dire les nombres impairs) entre $0$ et $N=2m+1$. On simplifie le $2$ également
$(\sum_{j=0}^{m}( \frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}))+o(x^{N})$
Merci beaucoup
Pourriez-vous me corriger mon raisonnement suivant pour la somme ? \begin{align}
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est pair}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est impair}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k' \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k'+1 \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2} }}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2}\\ k=0 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n}{2}}}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2}\\ \text{comme $k$ est impair va commencer par 1 et pas 0} k=1 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{k'=0}^{ n/2 } a_{2k'} +
\sum_{k'=0}^{ (n-1)/2 }a_{2k'+1}\\
&\text{comme $\frac{n}{2}$ et $\frac{n-1}{2}$ sont pas des nombres relatifs donc on ajoute la partie entière}\\
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2k} +
\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}a_{2k+1}\\
\end{align} Merci d'avance.
Par exemple, la première égalité est juste, la seconde aussi mais la troisième ... non.
En règle général, de chaque ligne on doit pourvoir déduire la suivante ou la précédente puisque ce sont des égalités (quelques exceptions mais pas ici).
Bref.
Aussi, les implications sous les sommes ne sont pas habituelles ( à ma connaissance).
Le raisonnement ne doit pas faire partie de l'écriture d'une somme.
De toutes manières, tu as compris je pense la preuve écrite dans ton document.
merci beaucoup pour vos explications mais j'ai une autre question j'ai vu votre demo à savoir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1160569,1163647#msg-1163647
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Mais si je veux partir de là $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})
$$ pour arriver au résultat voulu : $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
$$ on a effet, \begin{align}
sh(x)&\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=0 +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{2)x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=
\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
&\text{ces quelques passage je voudrais les savoir merci }\\
sh(x)&\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
\end{align} Merci d'avance.
$S= \sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})$
Je me place dans le cas où $n$ est impair : $n=2m+1$
Alors : $E((n-1)/2) = m$
$S= \sum_{k=0}^{m}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2m+1})$
Il n'y a rien à faire.
Par contre, attention de ne pas s'embrouiller avec l'entier $n$ qui est l'ordre choisi pour le DL et d'autres lettres qui sont muettes ou qui dépendent de $n$.
@Dom
un grand merci pour vos efforts, juste une question, si j'ai bien compris $m$ dépend de $n$ et que $k$ muette n'est ce pas
merci d'avance
On sait que le $DL_{0}^{n}$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$(1+x)^a \underset{x\to 0}= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n + o(x^n)
$$ Mais si je me place dans le cas ou $\alpha \in \mathbb{N}$ est ce que je peux écrire ça : $$(1+x)^n \underset{x\to 0}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}+o(x^{n})
$$ Merci d'avance.
\] Ce qui est intéressant, c'est que pour tout $p\le n$, on a : \[(1+x)^n=\sum_{k=0}^p\binom{n}{k}x^k+o(x^p).
\] Par exemple : \begin{align*}
(1+x)^3&=1+3x+o(x),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+o(x^2),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+x^3.
\end{align*}
merci
je voudrais savoir comment dérivé une somme $\sum $en générale et sous quelle conditions, par exemple pour avoir Le $DL_{0}^{n}$ de $\dfrac{1}{(1-x)^{2}}$ il suffit de dériver Le $DL_{0}^{n+1}$ de $\dfrac{1}{(1-x)}$ pour cela il ont passé par dérivation d'une somme :
je sais bien qu'il s'agit d'une dérivation de la somme de série géométrique mais je me demande dans le cas ou il s'agit pas d'une dérivation d'une sérié typique comment fait pour dérive une somme en générale sous quelle condition d'abord ici dans l'exemple en question, elle est de $\mathcal{C}^{n}$ donc assez régulière
merci d'avance
remarquons que $$\dfrac{1}{1-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1}).$$ dérivons par rapport $x$ : \begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)&\underset{x\to 0}= \frac{d}{dx}\left(\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1})\right)\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 1}^{n}kx^{k-1} \right)+o((n+1)x^{n})\\
&\text{changement d'indice } l=k-1\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 0}^{n-1}(k+1)x^{k} \right)+o(x^{n})\\
\end{align} donc j'ai trouvé que varie entre $0$ et $n-1$ et pas entre $0$ et $n$
Pouvez-vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.
Est-ce que ce théorème peut répondre à mes deux questions précédentes ??