passage dans DL
Bonjour,
Pourriez vous m'expliquer le passage suivant : $$a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\, \text{donc}\quad a_{p}-b_{p}\underset{x\to a}{=}o(1)$$ en effet, \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p} - b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ???
\end{align} Ce que je sais c'est que l'addition de deux petits $o$ est un petit $o$. $$
o((x-a)^{p})+o((x-a)^{p})=o((x-a)^{p})$$ si le cas pour la soustraction on peut écrire : \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p}-b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=} \frac{1}{(x-a)^{p}}o((x-a)^{p}) \text{ car } x\neq a \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o( \frac{1}{(x-a)^{p}}(x-a)^{p}) \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o(1)
\end{align} donc $\lim\limits_{x\to a } a_p-b_p=0$
Merci d'avance.
Pourriez vous m'expliquer le passage suivant : $$a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\, \text{donc}\quad a_{p}-b_{p}\underset{x\to a}{=}o(1)$$ en effet, \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p} - b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ???
\end{align} Ce que je sais c'est que l'addition de deux petits $o$ est un petit $o$. $$
o((x-a)^{p})+o((x-a)^{p})=o((x-a)^{p})$$ si le cas pour la soustraction on peut écrire : \begin{align}
a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})&\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\\
a_{p}(x-a)^{p}-b_{p}(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p})(x-a)^{p} &\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p}) ??? \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=} \frac{1}{(x-a)^{p}}o((x-a)^{p}) \text{ car } x\neq a \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o( \frac{1}{(x-a)^{p}}(x-a)^{p}) \\
(a_{p}-b_{p}) &\underset{x\to a}{=}o(1)
\end{align} donc $\lim\limits_{x\to a } a_p-b_p=0$
Merci d'avance.
Réponses
-
Une coquille sur la deuxième ligne de calcul :
$a_{p}(x-a)^{p}$ [large]-[/large] $b_{p}(x-a)^{p}$ $\underset{x\to a}{=} o((x-a)^{p})-o((x-a)^{p})$ -
Pour mieux appréhender les $o$, tu peux passer par la définition : il existe une fonction $\epsilon$ qui tend vers $0$ etc.
C'est plus long mais cela permet une meilleure compréhension de ce que l'on fait.
Tu peux aussi essayer de démontrer "les" propriétés liées aux $o$ : somme, produit, différence, quotient, composition (quand cela a un sens).
[small]Merci Philippe Malot[/small] ;-)
[small](De rien ! PM)[/small] -
Le point clé, c'est la troncature. On a $p\le n$. Par conséquent, si une fonction est négligeable devant $(x-a)^n$, elle est a fortiori négligeable devant $(x-a)^p$ (car $(x-a)^n=(x-a)^p(x-a)^{n-p}$ et $(x-a)^{n-p}$ est bornée au voisinage de $a$).
Première version : Avec la même idée, on a : $o\bigl((x-a)^p\bigr)=(x-a)^p\times o(1)$. De \[a_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+o((x-a)^{p})\]
on tire donc :
\[a_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}(x-a)^{p}+(x-a)^{p}o(1)\]
puis en simplifiant (pour $x\ne a$) :
\[a_{p}+o(1)\underset{x\to a}{=} b_{p}+o(1),\]
d'où $a_p=b_p$ par passage à la limite.
Deuxième version : Posons $g(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}a_k(x-a)^k=f(x)-\sum_{k=0}^{p-1}b_k(x-a)^k$.
Dire que $g(x)=a_p+o((x-a)^p)$, c'est dire qu'il existe une fonction $\epsilon$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)$ (pas de mystère sur $\epsilon$, on a $\epsilon(x)=(g(x)-a_p)/(x-a)^p$ pour $x\ne a$ et $\epsilon(a)=0$). De même, il existe une fonction $\eta$ qui tend vers $0$ en $a$ telle que $g(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)$. Mais alors, en simplifiant par $(x-a)^p$ pour $x\ne a$, il vient :
\[a_p(x-a)^+(x-a)^p\epsilon(x)=b_p(x-a)^p+(x-a)^p\eta(x)\quad
\text{donc}
a_p+\epsilon(x)=b_p+\eta(x),\]
d'où en passant à la limite : $a_p=b_p$. -
Jer anonyme
j'ai bien compris la version 1 mais concernant mon raisonnement est correcte ??
pour la 2eme version vous avez passer par la définition de petit o comme ma dit Monsieur Dom
merci beaucoup -
Je n'aime pas trop la façon dont c'est rédigé, ce n'est pas vraiment un raisonnement par l'absurde. Nul besoin de supposer a priori qu'ils sont différents, justement on montre qu'ils sont nécessairement égaux...
-
D'accord avec la réserve de Héhéhé (ou d'Héhéhé ?) mais elle parle du livre/poly, pas d'Educ.
Oui, le raisonnement est correct, c'est juste que la rédaction décomposée à ce point, ça m'a découragé de lire. -
bonjour,
désole de dérangement encore une fois mais je voudrais d'etre sure de ce passage:
$$o(x)-o(x)=o(x)$$
merci d'avance -
Une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a "moins" une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a est égale à une fonction qui tend vers 0 au voisinage de a.
Il faut méditer cela. -
Oui c'est juste.
Ma phrase peut se dire "la différence de deux petite o est un petit o" (comme pour la somme).
Cependant, attention car ces phrases ne signifient pas grand chose sorties de leurs contextes et sont même fausses car incomplètes (petit o "de quoi" en quel point). -
Bonjour, s'il vous plait, je n'ai pas compris le passage suivant
Question. $$
\frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})
\implies
\ln(1+x)\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
$$
Mes pensées.
On a $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \frac{1}{1+x}\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}\ (-1)^{k}x^{k}+o(x^{n}) $
\begin{align}
\frac{1}{1+x}&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{k}+o(x^{n-1})\\
\text{Primitivons, sachant que }\ln(1)=0 \\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(\frac{x^{n}}{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{par les opérations sur les petit o}\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})&\text{changement d'indice } k+1=t,
\end{align} faisons un changement d'indice : $ t=k+1 $ quand $k = 0 \implies t=1$ et quand $k = n-1 \implies t=n$ et $k=t-1$ donc \begin{align}
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^{n})\\
\ln(1+x)&\underset{x\to 0}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k}+o(x^{n})
\end{align} Ce qui contredit le résultat que je dois trouver, pouvez-vous me rectifier où j'ai fait l'erreur ?
Merci d'avance. -
Bonjour,
peux-t-on remplacer $(-1)^{k-1} $ par $(-1)^{k+1}$ si oui pourriez vous m'expliquer pourquoi merci -
\[(-1)^{k-1}=(-1)^{k}\times(-1)^{-1}=(-1)^k\times\frac1{(-1)}=(-1)^k\times(-1)=(-1)^{k+1}.\]
-
Et bien je te laisse trouver.
Il suffit d'écrire ce que signifie la puissance $k-1$ et la puissance $k+1$. -
pourquoi on doit travaille par $k+1$ au lieu de $k-1$ puisqu'il sont égaux
merci -
Une tentative d'explication mais d'autres ont sûrement de meilleures approches :
Dans la formule de départ on a : $(-1)^kx^k$ =$(-x)^k$.
Dans la formule finale, apres intégration
Je m'arrête : selon les auteurs, c'est l'une ou l'autre des écritures.
Exemples : http://www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf ou http://www.panamaths.net/Documents/Formulaires/FORMU_DSEUSUELS.pdf
Peut-être est-ce lié aux preuves qui peuvent être différentes (et la puissance, selon la preuve, devient naturellement k-1 ou k+1).
Il me semble aussi que l'on préfère les puissances entières positives pour tout k.
Parfois (ici, je ne sais pas) c'est aussi un choix pour retenir la "formule".
Mais bon, encore une fois, c'est pareil. -
Bonjour,
j'ai essaye de comprendre comment l'auteur a fait pour trouve DL de la fonction $x\longmapsto sh(x)$ et $x\longmapsto ch(x)$
on a en effet
$$\forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})$$
alors ${\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}:\quad e^{-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}+o(x^{n})}$ après composition par $x\mapsto -x$.
or on sait que $sh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ donc
\begin{align}
sh(x)&=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\
&=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}-o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{x^{k}}{k!}-\frac{(-1)^{k}x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
&=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}\right)+o(x^{n})\right) \\
\end{align}
ce qui contredit le résultat voulu.
merci d'avance -
Essaye de distinguer selon les valeurs de $k$ (entiers naturels) la quantité suivante :
$\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$ -
D'ailleurs les deux dernières phrases de ton document expliquent...
Je n'ai pas vu d'erreurs a priori. -
$\forall k \in [|0,n |],\quad \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}$
Si $k$ est impaire: alors : $\exists k^{'}\in \mathbb{N},\ k=2k'+1,\quad \dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}= \dfrac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}= \dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} $
$k=2k'+1,\quad k'=\dfrac{k-1}{2},$ quand $k=0$ alors $k'=-\dfrac{1}{2}???$ et quand $k=n$ alors $k'=\dfrac{n-1}{2}$ donc $$
sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{n-1}{2}}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{n})\right)
$$ Je sais que ça ce n'est pas bon mais j'ai essayé comme quand même.
Pour le cas ou $k$ est paire $\dfrac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}=0$
Merci d'avance -
Ne t'embête pas trop à revenir au "k" d'origine.
Aussi, attention à ton étude : tu dis "k impair" puis après tu parles de "si k=0" voilà pourquoi tu obtiens une incohérence.
Regarde bien ton document : les lettres k et n ne jouent pas le même rôle que les tiennes.
Tu y es, prends un peu de recul sur tes calculs. -
@Dom merci ,veuillez vérifier mon raisonnement
j'ai dis que k est impaire alors le premier terme sera affecte a lui est $1$ donc quand $k=1$ alors $k'=0$
et que $n$ est impaire egalement donc $n=2n'+1$
$$sh(x)=\frac{1}{2}\left(\sum_{k'=0}^{2n'+1}\left(\dfrac{2x^{2k'+1}}{(2k'+1)!}\right)+o(x^{2n'+1})\right)$$
comme $k', n'$ sont des variables mutuelle donc
$$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$$ -
Non ! Si tu vas jusqu'à $2n+1$ alors ton dernier terme est en " $2$x$(2n+1)+1$ ".
-
sil vous plait pourquoi si j'ai $n$ mon, dernier terme sera $2n+1$
-
Regarde, quel est le dernier terme de cette somme :
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$ -
oui cest $2n+1$ pourriez vous mexplique comment je peux arriver a lui sachant que j'ai mon dernier terme est n et que k est impaire
merci d'avance -
Je corrige :
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{2n+1}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$
doit être remplacé par :
$sh(x)=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)$ -
bonjour,
je viens de remarque que n qui est dans $o(x^{n})$ ne depend pas de n qui est dans la somme
de plus en générale comment on peut décomposer la somme dépend la parité de $k$ :
$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}=\sum_{k est impaire }^{}a_{k}+\sum_{k est paire }^{}a_{k}$$
mon problème est situé dans la manipulation de decomposition de la somme lorsque k est impaire et k paire
merci d'avance -
voila apres quelque recherche j'ai trouvé la formule en question mais si vous pouvez m'expliquer comment on peut la trouver
merci -
On va tout refaire :
La formule à l'ordre $N$ :
$\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$
Après étude on prouve que la formule vaut :
$\frac{1}{2}(\sum_{k=0, k…impair}^{N}( \frac{(1+(-1)^{k+1})x^{k}}{k!}))+o(x^{N})$
On se place dans le cas où $N$ est impair : $N=2m+1$ et on ne tient compte que des $2j+1$ (c'est-à-dire les nombres impairs) entre $0$ et $N=2m+1$. On simplifie le $2$ également
$(\sum_{j=0}^{m}( \frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}))+o(x^{N})$ -
En effet le petit o est en dehors de la somme.
-
@Dom
Merci beaucoup
Pourriez-vous me corriger mon raisonnement suivant pour la somme ? \begin{align}
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est pair}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ est impair}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k' \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}+\sum_{\substack{k=0 \\ k=2k'+1 \text{ avec } k'\in\mathbb{Z}}}^{n} a_{k}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2} }}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k}{2}\\ k=0 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n}{2}}}^{n} a_{2k'}+\sum_{\substack{k=0 \\ k'=\frac{k-1}{2}\\ \text{comme $k$ est impair va commencer par 1 et pas 0} k=1 \implies k'=0 \\ k=n \implies k'=\frac{n-1}{2} }}^{n} a_{2k'+1}\\
&=\sum_{k'=0}^{ n/2 } a_{2k'} +
\sum_{k'=0}^{ (n-1)/2 }a_{2k'+1}\\
&\text{comme $\frac{n}{2}$ et $\frac{n-1}{2}$ sont pas des nombres relatifs donc on ajoute la partie entière}\\
\sum_{k=0}^{n} a_{k}&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2k} +
\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}a_{2k+1}\\
\end{align} Merci d'avance. -
Désolé, on se perd dans tout ça.
Par exemple, la première égalité est juste, la seconde aussi mais la troisième ... non.
En règle général, de chaque ligne on doit pourvoir déduire la suivante ou la précédente puisque ce sont des égalités (quelques exceptions mais pas ici).
Bref.
Aussi, les implications sous les sommes ne sont pas habituelles ( à ma connaissance).
Le raisonnement ne doit pas faire partie de l'écriture d'une somme.
De toutes manières, tu as compris je pense la preuve écrite dans ton document. -
@Dom
merci beaucoup pour vos explications mais j'ai une autre question j'ai vu votre demo à savoir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1160569,1163647#msg-1163647
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Mais si je veux partir de là $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})
$$ pour arriver au résultat voulu : $$
sh(x)\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
$$ on a effet, \begin{align}
sh(x)&\underset{x\to 0}=\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E(n/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+1})x^{2k'}}{(2k')!} +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{(1+(-1)^{2k'+2})x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=0 +
\frac{1}{2}\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{2)x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=
\sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})\\
&\underset{x\to 0}=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
&\text{ces quelques passage je voudrais les savoir merci }\\
sh(x)&\underset{x\to 0}=\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+o(x^{2n+1})\right)
\end{align} Merci d'avance. -
Bon, je fais un effort, mais ce n'est vraiment pas important.
$S= \sum_{k'=0}^{E((n-1)/2)} \frac{x^{2k'+1}}{(2k'+1)!} + o(x^{n})$
Je me place dans le cas où $n$ est impair : $n=2m+1$
Alors : $E((n-1)/2) = m$
$S= \sum_{k=0}^{m}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2m+1})$
Il n'y a rien à faire.
Par contre, attention de ne pas s'embrouiller avec l'entier $n$ qui est l'ordre choisi pour le DL et d'autres lettres qui sont muettes ou qui dépendent de $n$. -
Oui c'est cela.
-
merci beaucoup et désole pour le derangement
-
Bonjour,
On sait que le $DL_{0}^{n}$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$(1+x)^a \underset{x\to 0}= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n + o(x^n)
$$ Mais si je me place dans le cas ou $\alpha \in \mathbb{N}$ est ce que je peux écrire ça : $$(1+x)^n \underset{x\to 0}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}+o(x^{n})
$$ Merci d'avance. -
Oui mais c'est sans intérêt puisque l'on a : \[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.
\] Ce qui est intéressant, c'est que pour tout $p\le n$, on a : \[(1+x)^n=\sum_{k=0}^p\binom{n}{k}x^k+o(x^p).
\] Par exemple : \begin{align*}
(1+x)^3&=1+3x+o(x),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+o(x^2),\\
(1+x)^3&=1+3x+3x^2+x^3.
\end{align*} -
oui on applique d'abord la formule de binôme puis on s’arrête jusqu’à l'ordre demande
merci -
Bonjour,
je voudrais savoir comment dérivé une somme $\sum $en générale et sous quelle conditions, par exemple pour avoir Le $DL_{0}^{n}$ de $\dfrac{1}{(1-x)^{2}}$ il suffit de dériver Le $DL_{0}^{n+1}$ de $\dfrac{1}{(1-x)}$ pour cela il ont passé par dérivation d'une somme :
je sais bien qu'il s'agit d'une dérivation de la somme de série géométrique mais je me demande dans le cas ou il s'agit pas d'une dérivation d'une sérié typique comment fait pour dérive une somme en générale sous quelle condition d'abord ici dans l'exemple en question, elle est de $\mathcal{C}^{n}$ donc assez régulière
merci d'avance -
Autre question :
remarquons que $$\dfrac{1}{1-x}\underset{x\to 0}=\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1}).$$ dérivons par rapport $x$ : \begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)&\underset{x\to 0}= \frac{d}{dx}\left(\sum_{k = 0}^{n+1}x^{k}+o(x^{n+1})\right)\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 1}^{n}kx^{k-1} \right)+o((n+1)x^{n})\\
&\text{changement d'indice } l=k-1\\
\dfrac{1}{(1-x)^{2}}&\underset{x\to 0}=\left( \sum_{k = 0}^{n-1}(k+1)x^{k} \right)+o(x^{n})\\
\end{align} donc j'ai trouvé que varie entre $0$ et $n-1$ et pas entre $0$ et $n$
Pouvez-vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance. -
Bonsoir
Est-ce que ce théorème peut répondre à mes deux questions précédentes ??
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Bonjour!
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