J'aurais voulu savoir si la continuité des applications linéaires surtout en dimension infinie peut toujours se faire avec les suites ?
À savoir "f est continue en 0 ssi pour toute suite (xn) de points de E qui converge vers 0 dans E, la suite f(xn) cv vers O dans F.
Réponses
Preuve: (je la fais car je n'ai pas supposé $F$ métrique, je préfère ne pas t'induire en erreur). Supposons $f$ continue en $a$ et $u$ qui tend vers $a$. Soit $V$ un ouvert de $F$ tel que $f(a)\in V$. La continuité de $f$ en $a$ entraine l'existence de $U$ ouvert de $E$ tel que $\forall x\in U: f(x)\in V$. A partir d'un certain rang, les $u_n$ sont dans $U$ et donc les $f(u_n)$ sont dans $V$.
Réciproquement: soit $V$ un ouvert de $F$ tel que $f(a)\in V$ et tel qu'aucun ouvert $U\ni a$ de $E$ ne vérifie $\forall x\in U: f(x)\in V$. Pour chaque $n$, il existe alors $u_n$ à distance moins de $1/n$ de $a$ tel que $f(u_n)\notin V$. La suite $u$ tend vers $a$ sans que $f\circ u$ ne tende vers $f(a)$
je ne comprends pas alors l'exercice suivant
E et F 2 evn et f appartient à L(E,F)
Montrer que f est continue ssi pour toute suite un d’éléments de E telle que lim un = 0 la suite f(un ) est bornée
Attendons...
Pour l'autre, se souvenir qu'une application linéaire $f$ est continue si et seulement si $\sup_{x\neq 0} \dfrac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x\Vert} < \infty$ .
Le sens direct est trivial et même incomplet (puisque "ça converge", alors c'est borné).
C'est plus simple le lundi matin.
Je veux dire que pour le sens direct (i.e. : montrer que $(f(x_n))$ est bornée) c'est "difficile" de ne montrer que cela dans le sens où on montre facilement que la suite converge vers $0_F$.
On utilise d'après moi : ça converge donc c'est borné alors que "converge" est plus fort.
C'est en ce sens que j'utilise le mot "incomplet" (non dans un sens mathématique).
J'imagine déjà à n'importe quel oral : Ne peut-on pas montrer un peu plus que "borné ?
Cependant j'avais mal lu le message original.
La première consigne, c'est de lire la consigne ;-)
1) Suppose que f n'est pas continue en $0$
2) il existe donc $e>0$ tel que pour toute boule de centre $0$, il y a un $x$ dedans tel que $N_F(f(x))>e$
3) un vraiment tout petit effort et tu as l'existence d'une suite $u$ telle que pour tout $n : N_F(f(u_n))>n$ et $N_E(u_n)<1/n$.
jai ainsi ||vn || qui tend vers 0 et ||f(vn)|| qui tend vers +inf
Comme || un || < 1/n
la suite vn = n^0.5 * un vérifie donc || vn || < n^0.5 * 1/n donc || vn || < 1/n^0.5
d'où vn -->0