continuité applications linéaires

Pour $f: E\to F$, $a\in E$ et $E$ métrique, $f$ continue en $a$ ssi toute suite $u$ de $E$ qui tend vers $a$ est telle que $f\circ u$ tend vers $f(a)$ dans $F$.

Preuve: (je la fais car je n'ai pas supposé $F$ métrique, je préfère ne pas t'induire en erreur). Supposons $f$ continue en $a$ et $u$ qui tend vers $a$. Soit $V$ un ouvert de $F$ tel que $f(a)\in V$. La continuité de $f$ en $a$ entraine l'existence de $U$ ouvert de $E$ tel que $\forall x\in U: f(x)\in V$. A partir d'un certain rang, les $u_n$ sont dans $U$ et donc les $f(u_n)$ sont dans $V$.

Réciproquement: soit $V$ un ouvert de $F$ tel que $f(a)\in V$ et tel qu'aucun ouvert $U\ni a$ de $E$ ne vérifie $\forall x\in U: f(x)\in V$. Pour chaque $n$, il existe alors $u_n$ à distance moins de $1/n$ de $a$ tel que $f(u_n)\notin V$. La suite $u$ tend vers $a$ sans que $f\circ u$ ne tende vers $f(a)$

Il n'y a ni histoire de dimension ni histoire d'être linéaire

Une des implications de l'équivalence est triviale.
Pour l'autre, se souvenir qu'une application linéaire $f$ est continue si et seulement si $\sup_{x\neq 0} \dfrac{\Vert f(x)\Vert}{\Vert x\Vert} < \infty$ .

C'est quoi, une implication "incomplète " ? ;-)

@frank: on ne va peut-être pas tout te faire, tu peux essayer un peu plus de donner de ta personne.

1) Suppose que f n'est pas continue en $0$

2) il existe donc $e>0$ tel que pour toute boule de centre $0$, il y a un $x$ dedans tel que $N_F(f(x))>e$

3) un vraiment tout petit effort et tu as l'existence d'une suite $u$ telle que pour tout $n : N_F(f(u_n))>n$ et $N_E(u_n)<1/n$.

Bin non. Rien ne te garantit que $v$ tend vers $0$.

Le point (3) de mon post n'est pas quelque chose que tu as, c'est quelque chose que tu veux réaliser