Calcul de limite
Bien le bonjour,
J'ai un DM à rendre pour la rentrée concernant le calcul de limite de fonctions.
En effet, il s'agit de déterminer la limite quand x tend vers 0 de
1. ln(1 + x² ) / x
Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux pas répondre en utilisant les DL.
J'avais pensé à résoudre par équivalent.
L'équivalent de ln(1 + x²) c'est x² donc on a x² / x, on simplifie cela fait x. Donc la limite de 1. c'est 0.
Correct ou pas ?
J'ai un DM à rendre pour la rentrée concernant le calcul de limite de fonctions.
En effet, il s'agit de déterminer la limite quand x tend vers 0 de
1. ln(1 + x² ) / x
Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux pas répondre en utilisant les DL.
J'avais pensé à résoudre par équivalent.
L'équivalent de ln(1 + x²) c'est x² donc on a x² / x, on simplifie cela fait x. Donc la limite de 1. c'est 0.
Correct ou pas ?
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Réponses
Tout à fait correct.
L'équivalent en 0 de $\frac{ln(1+x^2)}{x}$ est bien x ce qui te donne la solution.
Souffle.
On peut dire (en le justifiant) que $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb R$.
La limite demandée est aussi la limite en 0 du taux d'accroissement : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ qui vaut alors $f'(0)$.
C'est plus "compliqué" car on a un (petit) calcul de dérivée à effectuer mais il me paraît important de penser, dès que possible, à utiliser la définition du nombre dérivé (dont il faut se rappeler que c'est une limite).
Remarque : dès qu'on a un doute avec les propriétés des équivalents, il suffit d'utiliser la définition "$f$ et $g$ sont équivalentes en... s'il existe une fonction $\epsilon$ tendant vers 0 (au point considéré) tel que $f(x)=(1+\epsilon(x))g(x)$".
On peut ainsi "calculer" sans trop d'erreurs.
La suivante est :
$racine de (1 + 2x) - 1 / x$
Désolé, mais je ne sais pas comment faire la racine carrée. En gros, c'est 1+2x qui est sous la racine et -1 non, et le tout divisée par x
je suppose qu'il s'agit de la limite lorsque $x$ tend vers $0$ de $\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$
auquel cas la limite est égale à $f'(0)$ avec $f(x) = \sqrt{1+2x}$ dont la fonction dérivée est $\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$
et donc $f'(0) = 1$ et ta limite est égale à 1
cordialement
Evidemment, il te faut connaître la définition du nombre dérivé d'une fonction pour comprendre le message de Dom ...
Cordialement.
Et pour finir sur $\mathbb{R}_{+}$ (on remarque que la fonction est impaire) on a $0 \leq \frac{ln(1+x^2)}{x} \leq x$.
[LaTeX pourvoit les commandes \leq et \geq en lieu et place de ces impropres implications à l'envers ! AD]
Je vous remercie pour votre participation, ça m'aide bcp ! Merci !
La suivante est :
f(x) = xln(e^x - 1) en 0
J'ai tout d'abord cherché un équivalent de e^x - 1 en 0 c'est x
Donc xln(e^x - 1) est équivalent en 0 à xln(x). Par croissance comparée la limite quand x tend vers 0 de xln(x) c'est 0. Donc la limite qd x tend vers 0 de la fonction f est 0
Est-ce bon?
si $f\sim g$ a-t-on $\ln(f)\sim \ln(g)$ ?
Cordialement.
@Gerard il manquait le *
Par exemple, utilise ma remarque faite plus haut pour les manipuler (avec des égalités faisant intervenir des fonctions au tendent vers 0...).
Correction : la limite est 0. ([small]voir plus bas[/small])
x ( lnx/x * (e^x -1/x) )
Ce qui fait que e^x - 1/x on utilise le taux d'accroissement, on trouve 1. Du coup il reste x ( lnx/x) soit, ln(x). Non ?
Pour $e^x - \frac1x$ je crois déceler une confusion avec $\frac{e^x-1}x$.
Et je ne vois pas pourquoi cela est "sorti" du $\ln$.
J'essaye de comprendre : on considère $x$ positif et non nul.
$x\ln(e^x-1)=x\ln(x\frac{e^x-1}x)=x\ln x+x\ln\frac{e^x-1}x$
Si c'est cela alors ça convient en effet.
> Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux
> pas répondre en utilisant les DL.
> J'avais pensé à résoudre par équivalent.
Si on ne peut pas utiliser les DL, je doute que les équivalents soient autorisés
Je me suis trompé : la limite cherchée est 0.
Voici un petit formulaire de limite avec le logarithme avec des preuves.
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtslimitesln.pdf
Je reprends :
$x\ln(e^x-1)=x\ln(x\frac{e^x-1}x)=x\ln x+x\ln\frac{e^x-1}x$
- je factorise par $x$ dans le logarithme
- j'utilise la "formule" : $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
- on obtient une somme de deux termes dont le deuxième, en étudiant sa limite, tend vers 0 (taux d'accroissement de lexponentiell en 0 dans le logarithme).
J'ai voulu utiliser ce que j'avais compris de ta méthode. Mais apparemment je n'ai pas compris.
On peut arriver à ce résultat (limite égale à 0) avec les équivalents.
Ça ne change rien : 0 est bien une borne de $ \mathbb{R^*}_{+}$, donc il est tout à fait normal de parler de limite en 0. C'est d'ailleurs un des cas classique où on parle de limite.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
On a étudié les équivalent sur le chapitre des limites. Les DL est un chapitre à part.
Merci pour toute vos réponses !
La dernière est tjrs toujours en 0 :
e^1/x racinecarré de x(x+2) - x. En gros c'est exponentielle de 1 sur x, multiplié par racine carrée de x(x+2) - x, en gros c'est x(x+2) sous la racine et le - x qui n'est pas dans la racine.
[Peux-tu écrire tes mots en entier, Merci. AD]
1) $e^\frac1x\sqrt{x(x-1)} - x$ $. $ Correction : $e^\frac1x\sqrt{x(x+2)} - x$
2) $e^\frac1x(\sqrt{x(x-1)} - x)$. Idem...
L'exercice est d'étudier la limite en $0$ de $e^\frac1x\sqrt{x(x+2)} - x$.
Le terme en $-x$ ne joue aucun rôle (donc on peut douter - ou pas ).
D'autres propriétés peut-être seront utiles.