Calcul de limite
Bien le bonjour,
J'ai un DM à rendre pour la rentrée concernant le calcul de limite de fonctions.
En effet, il s'agit de déterminer la limite quand x tend vers 0 de
1. ln(1 + x² ) / x
Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux pas répondre en utilisant les DL.
J'avais pensé à résoudre par équivalent.
L'équivalent de ln(1 + x²) c'est x² donc on a x² / x, on simplifie cela fait x. Donc la limite de 1. c'est 0.
Correct ou pas ?
J'ai un DM à rendre pour la rentrée concernant le calcul de limite de fonctions.
En effet, il s'agit de déterminer la limite quand x tend vers 0 de
1. ln(1 + x² ) / x
Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux pas répondre en utilisant les DL.
J'avais pensé à résoudre par équivalent.
L'équivalent de ln(1 + x²) c'est x² donc on a x² / x, on simplifie cela fait x. Donc la limite de 1. c'est 0.
Correct ou pas ?
Réponses
-
Cher/ère Anaxe,
Tout à fait correct.
L'équivalent en 0 de $\frac{ln(1+x^2)}{x}$ est bien x ce qui te donne la solution.
Souffle. -
On pose pour tout $x$ réel, $f(x)=\ln(1+x^2)$.
On peut dire (en le justifiant) que $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb R$.
La limite demandée est aussi la limite en 0 du taux d'accroissement : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ qui vaut alors $f'(0)$.
C'est plus "compliqué" car on a un (petit) calcul de dérivée à effectuer mais il me paraît important de penser, dès que possible, à utiliser la définition du nombre dérivé (dont il faut se rappeler que c'est une limite).
Remarque : dès qu'on a un doute avec les propriétés des équivalents, il suffit d'utiliser la définition "$f$ et $g$ sont équivalentes en... s'il existe une fonction $\epsilon$ tendant vers 0 (au point considéré) tel que $f(x)=(1+\epsilon(x))g(x)$".
On peut ainsi "calculer" sans trop d'erreurs. -
Salut, merci pour cette réponse rapide !
La suivante est :
$racine de (1 + 2x) - 1 / x$
Désolé, mais je ne sais pas comment faire la racine carrée. En gros, c'est 1+2x qui est sous la racine et -1 non, et le tout divisée par x -
bonjour
je suppose qu'il s'agit de la limite lorsque $x$ tend vers $0$ de $\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$
auquel cas la limite est égale à $f'(0)$ avec $f(x) = \sqrt{1+2x}$ dont la fonction dérivée est $\frac{1}{\sqrt{1+2x}}$
et donc $f'(0) = 1$ et ta limite est égale à 1
cordialement -
Je ne comprends pas pourquoi vous passez par la dérivée pour trouver la limite...
-
C'est dit clairement dans le message de Dom.
Evidemment, il te faut connaître la définition du nombre dérivé d'une fonction pour comprendre le message de Dom ...
Cordialement. -
Sur $\mathbb R$ on a $\ln(1+X) \leq X$ d'ou $\ln(1+x^2) \leq x^2$
Et pour finir sur $\mathbb{R}_{+}$ (on remarque que la fonction est impaire) on a $0 \leq \frac{ln(1+x^2)}{x} \leq x$.
[LaTeX pourvoit les commandes \leq et \geq en lieu et place de ces impropres implications à l'envers ! AD] -
Bonjour,
Je vous remercie pour votre participation, ça m'aide bcp ! Merci !
La suivante est :
f(x) = xln(e^x - 1) en 0
J'ai tout d'abord cherché un équivalent de e^x - 1 en 0 c'est x
Donc xln(e^x - 1) est équivalent en 0 à xln(x). Par croissance comparée la limite quand x tend vers 0 de xln(x) c'est 0. Donc la limite qd x tend vers 0 de la fonction f est 0
Est-ce bon? -
Attention :
si $f\sim g$ a-t-on $\ln(f)\sim \ln(g)$ ?
Cordialement. -
On a ln(f) équivalent à ln(g) si ln(g) tend vers + l'infini. Or c'est le cas ici non ?
-
En 0, ça ne "tend pas vers l'infini" ...
-
Ha ben oui.. Du coup ça ne fonctionne pas ce que j'ai dit précédemment.
-
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162023,1162529#msg-1162529 parler de limite en 0 pour une fonction défini sur $ \mathbb{R^*}_{+}$ c'est embétant.
@Gerard il manquait le * -
0 n'est plus dans $\mathbb R ^+$ ?
-
Anaxe, attention aux équivalents :
Par exemple, utilise ma remarque faite plus haut pour les manipuler (avec des égalités faisant intervenir des fonctions au tendent vers 0...). -
Pour cette fonction, j'ai tenté de factoriser par x. Et je tombe à la fin à la limite de ln(x), et je trouve - l'infini.
-
La limite est juste mais je ne sais pas si la méthode est juste : factoriser par x... dans quelle expression ?
Correction : la limite est 0. ([small]voir plus bas[/small]) -
L'expression générale. ça donne ça :
x ( lnx/x * (e^x -1/x) )
Ce qui fait que e^x - 1/x on utilise le taux d'accroissement, on trouve 1. Du coup il reste x ( lnx/x) soit, ln(x). Non ? -
Écoute, je ne m'y retrouve pas dans ton approche (mais je ne dis pas qu'elle est fausse).
Pour $e^x - \frac1x$ je crois déceler une confusion avec $\frac{e^x-1}x$.
Et je ne vois pas pourquoi cela est "sorti" du $\ln$.
J'essaye de comprendre : on considère $x$ positif et non nul.
$x\ln(e^x-1)=x\ln(x\frac{e^x-1}x)=x\ln x+x\ln\frac{e^x-1}x$
Si c'est cela alors ça convient en effet. -
Je n'arrive pas à comprendre vos calculs. Et puis avec ce que vous me fournissez, on ne trouve pas - l'infini...
-
Anaxe écrivait:
> Auriez-vous des idées ? Sachant que je ne peux
> pas répondre en utilisant les DL.
> J'avais pensé à résoudre par équivalent.
Si on ne peut pas utiliser les DL, je doute que les équivalents soient autorisés -
Ok.
Je me suis trompé : la limite cherchée est 0.
Voici un petit formulaire de limite avec le logarithme avec des preuves.
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtslimitesln.pdf
Je reprends :
$x\ln(e^x-1)=x\ln(x\frac{e^x-1}x)=x\ln x+x\ln\frac{e^x-1}x$
- je factorise par $x$ dans le logarithme
- j'utilise la "formule" : $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
- on obtient une somme de deux termes dont le deuxième, en étudiant sa limite, tend vers 0 (taux d'accroissement de lexponentiell en 0 dans le logarithme).
J'ai voulu utiliser ce que j'avais compris de ta méthode. Mais apparemment je n'ai pas compris.
On peut arriver à ce résultat (limite égale à 0) avec les équivalents. -
soleil_vert écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162023,1162555#msg-1162555
Ça ne change rien : 0 est bien une borne de $ \mathbb{R^*}_{+}$, donc il est tout à fait normal de parler de limite en 0. C'est d'ailleurs un des cas classique où on parle de limite. -
joel_5632 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162023,1162681#msg-1162681
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
On a étudié les équivalent sur le chapitre des limites. Les DL est un chapitre à part.
Merci pour toute vos réponses !
La dernière est tjrs toujours en 0 :
e^1/x racinecarré de x(x+2) - x. En gros c'est exponentielle de 1 sur x, multiplié par racine carrée de x(x+2) - x, en gros c'est x(x+2) sous la racine et le - x qui n'est pas dans la racine.
[Peux-tu écrire tes mots en entier, Merci. AD] -
Pour y voir clair (précise laquelle est juste ou mieux, cherche les deux ;-)) :
1) $e^\frac1x\sqrt{x(x-1)} - x$ $. $ Correction : $e^\frac1x\sqrt{x(x+2)} - x$
2) $e^\frac1x(\sqrt{x(x-1)} - x)$. Idem... -
La 1) est la bonne (je crois, je ne suis pas sûr) sauf qu'à la place de -1 il faut un +2 et c'est gagné !
-
Oups pardon, ce que j'ai écrit n'a aucun sens en 0 :
L'exercice est d'étudier la limite en $0$ de $e^\frac1x\sqrt{x(x+2)} - x$.
Le terme en $-x$ ne joue aucun rôle (donc on peut douter - ou pas ). -
Pour la dernière, je peux utiliser les équivalents?
-
Si c'est la bonne expression, il va être difficile d'obtenir un equivalent de $e^\frac1x$ en $0$.
D'autres propriétés peut-être seront utiles.
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