suite, majorée, minorée?
Bonjour, j'ai la suite suivante et l'on me demande si elle est monotone, majorée, minorée, bornée? $$u_n = \frac{1}{n^2+(-1)^n(n+1)}
$$ ce que j'ai trouvé :
la suite n'est pas monotone.
Quand $n$ tend vers $0$, $u_n$ tend vers $1$
Quand $n$ tend vers l'infini $u_n$ tend vers $0$
Donc la suite est bornée.
Je suis arrivé à trouvé la limite à l'infini à l'aide du th. d'encadrement.
J'aimerais avoir une confirmation, est-ce correct ?
Merci d'avance.
$$ ce que j'ai trouvé :
la suite n'est pas monotone.
Quand $n$ tend vers $0$, $u_n$ tend vers $1$
Quand $n$ tend vers l'infini $u_n$ tend vers $0$
Donc la suite est bornée.
Je suis arrivé à trouvé la limite à l'infini à l'aide du th. d'encadrement.
J'aimerais avoir une confirmation, est-ce correct ?
Merci d'avance.
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Réponses
Ici, l'idée de faire tendre vers 0 n'a pas de sens. On peut calculer le premier terme $u_0$ qui vaut 1, mais il n'est pas question de limite.
En effet elle converge vers 0 donc elle est bornée.
On ajoute que, puisqu'elle est bornée, alors elle est à la fois majorée et minorée.
La non monotonie doit être prouvée rigoureusement, et même la "non monotonie à partir d'un certain rang" (expression entre guillemets mal dite, pardon, c'est l'idée...).
Ce que tu as écrit laisse perplexe. Je parie que tu n'a pas démontré ce que tu annonces. Le " donc la suite est bornée " me fait très peur.
Peux-tu écrire une démonstration de ce que tu as trouvé ?
Personnellement, je commencerais par démontrer que cette suite existe (que le dénominateur ne s'annule pas).
$u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 - (n+1)^2 - (-1)^n(2n+3)}{((n+1)^2-(-1)^n(n+2))(n^2+(-1)^n(n+1))} \leq 0$ à partir de l'ordre $20$ donc elle n'est pas monotone quand $n \in N$
et on a $u_0 = 1$.
et pour la limite à l'infini on trouve $n^2 - n - 2 \leq n^2 + (-1)^n (n+2) \leq n^2 + n+2 $ ensuite on inverse et on calcul la limite.
Edit : j'ai corrigé une erreur au niveau de $u_{n+1} - u_n$
Soit $\displaystyle n \in \N$ et la suite définie par $\displaystyle u_n = {1 \over n^2 + (-1)^n (n+1)}.$
Existence :
Cette suite n'existe que si le dénominateur est non-nul.
$\displaystyle n^2 + (-1)^n (n+1) = (n + \frac{(-1)^n}{2})^2 + (-1)^n - \frac{1}{4} \geq (n - \frac{1}{2})^2 - \frac54 = (n - \frac{\sqrt{5}+1}{2})(n + \frac{\sqrt{5}-1}{2}) > 0$ pour $n \geq 2.$
Pour $\displaystyle n=0$, $\displaystyle n^2 + (-1)^n (n+1) = 1 \neq 0$, pour $\displaystyle n=1$, $\displaystyle n^2 + (-1)^n (n+1) = -1 \neq 0.$
Donc la suite $\displaystyle (u_n)$ existe pour tout $n$ entier.
Monotonie :
$\displaystyle u_0 = 1$, $\displaystyle u_1 = -1$, $\displaystyle u_2 = \frac17$. Donc la suite $\displaystyle (u_n)$ n'est pas monotone.
Limite :
$\displaystyle u_n$ tend vers $0$. On le voit en écrivant, par exemple : $\displaystyle u_n = {1 \over n^2} {1 \over 1 + \frac{(-1)^n}{n}(1+\frac1n)}.$
Minoration :
On a montré dans la partie Existence que $\displaystyle u_n \geq 0$ pour $n \geq 2.$ $\displaystyle u_0 = 1$, $\displaystyle u_1 = -1$, donc la suite est minorée par $-1.$
Majoration :
$\displaystyle u_n $$\leq$$\displaystyle {1 \over (n - \frac{\sqrt{5}+1}{2})(n + \frac{\sqrt{5}-1}{2})} \leq {1 \over (2 - \frac{\sqrt{5}+1}{2})(2 + \frac{\sqrt{5}-1}{2})} = {1 \over ( \frac{3+\sqrt{5}}{2})(\frac{3-\sqrt{5}}{2})} = 1$ pour $\displaystyle n \geq 2.$
On sait que, pour $\displaystyle n=0$ et $\displaystyle n=1$, $\displaystyle u_0 = 1 \leq 1$ et $\displaystyle u_1 = -1 \leq 1.$
Donc la suite $\displaystyle (u_n)$ est majorée par $1.$
Bornitude (comme dirait Ségolène) :
Comme la suite $(u_n)$ existe et tend vers $0$, elle est bornée.
Comme la suite $(u_n)$ est minorée et majorée, elle est bornée.
Encore merci!
Pour $n \geq 2$ on a $ u_n \leq \dfrac{1}{ (n - \frac{\sqrt{5}+1}{2})(n + \frac{\sqrt{5}-1}{2}) }$ et non l'égalité cela remet en cause la minoration , non ?
Cdt
Edit: tu montres au début que pour $n \geq 2$ on a $u_n > 0$ ; les valeurs de $u_0$ et $u_1$ permettent de conclure immédiatement.
Merci de ta correction. J'ai modifié.
Cela donnerait $$(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}:u_{2n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)^2-(2n+1)-1}$$ et $$(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}:u_{2n}=\dfrac{1}{(2n)^2+(2n)+1}$$
PS : on suppose $n\in\mathbb{N}$
Tu demandes pourquoi ne pas séparer pour étudier les termes pais et impairs ?
Dans notre cas, le calcul donne : $\displaystyle u_{2k +\frac{1-\pm 1}{2}} = {1 \over (2k)^2 + 2k \pm 1}.$
Parce que, par exemple, la suite $(-1)^n$, une fois séparée, semble converger. Les termes pais convergent vers $+1$. Les termes impairs convergent vers $-1$. Pourtant, la suite $(-1)^n$ ne converge pas. Donc on ne peut pas dire grand chose d'une suite même quand on connaît ces parties de termes pairs et impairs.
YvesM : ton exemple est un exemple de suite bornée n'ayant pas de limite, mais ici l'intuition suggère que cette suite a une limite puisque le terme quadratique l'emportera sur le terme alterné. Décomposer la suite en termes de rang pair et de rang impair « peut » donc s'avérer pertinent, si on constate que ces deux suites ont même limite, alors on verra que la suite converge.
Les suites composées respectivement par les termes de rang pair et par les termes de rang impair ont « évidemment » même limite à cause de l'équivalent $u_{n}\sim_{\infty}\frac{1}{n^2}$ (si on avait commencé par ça on avait tout de suite le résultat([small], mais évidemment c'est moins drôle[/small])).
J'ajoute le théorème que j'ai cru voir cité plus haut : si une suite est de limite $l$ finie (la suite est convergente), alors la suite est bornée. Donc cette suite est bornée. Donc la suite est bornée, pas nécessairement monotone.
Ma réponse à ta remarque sur les termes pairs et impairs est la suivante : utilise donc cette approche et démontre les résultats connus (démontrés dans le fil). On verra bien si tu y arrives ?
Ma réponse à dernière remarque :
Soit la suite $\displaystyle (v_n)$ définie par son terme $\displaystyle v_n = {1 \over 5-n}$ pour tout $n$ entier. La limite existe et vaut $0$. En déduis-tu que la suite $\displaystyle (v_n)$ est bornée ? Pas moi car la suite n'est pas définie en $\displaystyle n=5$. Avant de converger, ou d'être bornée, une suite doit être définie et exister, non ? C'est le sens de ma remarque sur $\displaystyle (u_n)$ : il faut démontrer que le dénominateur ne s'annule pas.
Ma définition étant : une suite (réelle) est une application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$.
Ou alors, à supposer une suite à valeurs dans $\mathbb R \cup ${$-\infty$}$ \cup$ { $+\infty$} mais dans ce cas il me semble qu'il faille le préciser. Et même dans ce cas d'ailleurs il faut définir explicitement $v_5$.
D'accord avec la fin : il faut vérifier que la suite est bien définie avant toute autre étude (donc regarder, ici, le dénominateur).
On peut parler de la suite définie pour n>5 (qui bien sûr est bornée).
Si on considère les deux polynômes que j'ai donné plus haut, l'un ($X^2+X+1$) ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$, a fortiori sur $\mathbb{N}$, donc les termes de rang pair sont tous définis. Notons tout de même $z_1$ et $z_2$ ses racines complexes.
Concernant l'autre, ses racines sont $s_1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ et $s_2=-\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$. Je pense ne pas prendre de risque en disant que ces deux nombres ne sont pas des entiers, donc les termes de rang impair sont bien définis pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Je synthétise : la suite est bien définie, de limite 0. Elle est donc bornée. Elle n'est pas monotone. En effet : $u_{0}=1$ et $u_{1}=-1$ et $u_2=\frac{1}{7}$. Ma démonstration, je pense suffit à répondre à l'énoncé sans trop de calculs compliqués et sans appel à une majoration.
Tu commences par démontrer l'existence, avant de calculer la limite ($0$) et de conclure que la suite réelle est bornée. On est d'accord.
Le théorème que tu cites "toute suite réelle convergente est bornée" est correct, mais comme tout théorème il faut vérifier les hypothèses avant de l'appliquer. En l'occurence, un "truc" donné par un énoncé n'est pas forcément une suite réelle : cette propriété se démontre avec ensemble de départ, d'arrivée et application de l'un vers l'autre.
Par ailleurs, tu annonces que la suite n'est pas monotone. Mais là encore, tu n'as pas démontré cette propriété à partir des sous suites $(u_{(2k)})$ et $(u_{(2k+1)})$. Dans on approche tu ne peux utiliser que les résultats de ces sous suites, non ? Sais-tu démontrer la non-monotonie à partir des deux sous suites ?
Ma réponse à ta question est : oui, je sais le faire (j'avais réfléchi à la réponse d'ors et déjà) et même avec une bonne précision.
Résumons. $$(u_n)_{n\in\mathbb{N}}:\begin{cases}n\textrm{ pair : }&u_{2n}=\dfrac{1}{(2n)^2+(2n)+1}\\
n\textrm{ impair : }&u_{2n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)^2-(2n+1)-1}\end{cases}
$$ On a donc deux applications de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. On sait que le sommet de la parabole représentant un trinôme du second degré (que l'on écrit $aX^2+bX+c$) est situé à l'abscisse $s=-\frac{b}{2a}$.
Dans le cas pair, le polynôme au dénominateur est du type $X^2+X+1$. On a donc $s=-\frac{1}{2}$. Comme le coefficient $a$ est positif, la courbe est décroissante puis croissante. Donc le polynôme $X\mapsto X^2+X+1$ est strictement croissant sur $2\mathbb{N}$, en conséquence la suite formée par les termes pairs est strictement décroissante (l'application $v:n\mapsto\frac{1}{(2n)^2+(2n)+1}$ est strictement décroissante pour $n\in\mathbb{N}$, that's all).
Dans le cas impair (polynôme $X^2-X-1$), le sommet de la parabole se trouve en $t=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$. À nouveau, le premier entier naturel impair est $1$. L'application $w:n\mapsto\frac{1}{(2n+1)^2-(2n+1)-1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ est donc à nouveau strictement décroissante.
Il est facile de voir par ailleurs que $\lim_{n\to\infty}w(n)=\lim_{n\to\infty}v(n)$=0. Les deux suites extraites convergeant et ayant même limite, on en déduit facilement que la suite de terme général donné dans l'énoncé converge.
EDIT : Quant aux majorations/minorations, puisque les suites extraites sont strictement décroissantes, il suffit de trouver $\max(u_{0},u_{1})$ pour trouver la borne supérieure. Les suites sont minorées par zéro également. EDIT2 : ah la monotonie. Ici il suffit de trouver un exemple de trois termes consécutifs non ordonnés pour dire « la suite n'est pas monotone ». Ceci dit, on peut bien sûr évaluer $u_{2n+1}-u_{2n}$ vu que ces deux quantités sont bien définies et vérifier que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone (ou pas) à partir d'un certain rang.
Je pense que l'approche faite ici est particulièrement riche, cela vient de la monotonie de $X^2+X+1$ sur $[0,\infty[$ et de la monotonie de $X^2-X-1$ sur [1,\infty[$. On a plein de notions qui se recoupent, je vais garder cet exercice pour l'avenir.
Calculons (j'avoue j'ai appelé ma ti89 à la rescousse) : $$
u_{2n+1}-u_{2n}=\dfrac{2}{16n^4+16n^3+4n^2-1}
$$ Clairement pour $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $u_{2n+1}> u_{2n}$. D'autre part, on a : $$
u_{2n+2}-u_{2n+1}=-\dfrac{8n+8}{16n^4+48n^3+44n^2+4n-7}
$$ On en déduit que pour tout entier naturel $n\geq 1$, $u_{2n+2}<u_{2n+1}$. La suite n'est donc pas monotone. Résumons :
$\forall n\in\mathbb{N}^*$, $u_{2n+1}>u_{2n}$ et $u_{2n+2}<u_{2n+1}$ et $u_{2n+2}<u_{2n}$ d'où $u_{2n+1}>u_{2n}>u_{2n+2}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. On voit que la relation d'ordre imposée par « la suite est monotone » n'est pas du tout respectée, même à partir d'un certain rang.
On a donc une suite oscillante (si tu peux poster un dessin, cela serait sympa, je ne sais pas comment représenter une suite avec geogebra).
Bon, du coup, on a bien approfondi le problème
-- afficher le tableur (Affichage -> cocher "Tableur" // ou bien Ctrl-Maj-S)
-- placer 0 en A1, 1 en A2 et tirer vers le bas jusque vers 20 ou 30,
-- dans B1, rentrer -- tirer vers le bas.
Il faut augmenter la précision du calcul (Options -> Arrondis) mais on ne voit pas grand-chose de toute façon.
Comme tu l'as écrit, l'étude de la monotonie nécessite d'étudier la suite elle-même et pas ces sous suites paire et impaire. D'ailleurs, tu calcules $u_{2n+1} - u_{2n}$ et $u_{2n+2} - u_{2n+1}$. Mon argument est vérifé, non ? L'étude de sous suites paire et impaire n'est pas du tout un raccourci ni plus facile, et est un bon moyen de se tromper car ces deux sous suites peuvent avoir les mêmes propriétés sans que la suite originale n'est cette propriété.
Par exemple on peut avoir : (i) les deux sous suites sont constantes, mais la suite ne l'est pas, (ii) les deux sous suites sont monotones, mais la suite ne l'est pas, (ii) les deux sous suites convergent, mais la suite ne converge pas...
Comme je suis physicien je commence d'abord par vérifier l'énoncé. La physique c'est l'art de mettre en équation, donc d'écrire l'énoncé.
Je réponds à ce message précis : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162109,1163787#msg-1163787
En fait sur la partie strictement technique, scinder la suite en deux est un avantage. En utilisant cette facilité (qui n'est rien d'autre qu'un outil), j'ai montré
1) que la suite est définie partout
2) composée de deux sous-suites toutes deux strictement décroissantes et de limite 0.
3) que la suite n'est pas monotone à partir du rang $n=2$ (ce qui revient à dire qu'elle n'est pas monotone).
Ce troisième point n'a nulle part été démontré, il a même été prétendu exactement le contraire : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162109,1162297#msg-1162297 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1162109,1162347#msg-1162347.
Je ne pense pas que ma méthode soit fausse, ni même dangereuse, tu raisonnes à partir d'un argument spécieux. Le fait de décomposer en deux sous-suites me semble au contraire apporter un gain de clarté dans ce cas précis. Il me semble d'ailleurs que c'est une méthode très classique pour étudier une suite telle que celle de l'énoncé.
Cordialement.
$\oplus\,\,$Si deux sous-suites $(w_{n})$ et $(v_n)$ extraites d'une suite $(u_n)$ convergent et ont même limite, alors $(u_n)$ converge vers cette même limite.
$\oplus\,\,$Si $(w_{n})$ n'a pas la même limite que $(v_{n})$, alors $(u_n)$ ne converge pas (on dit qu'elle n'a pas de limite).
$\oplus\,\,$Si l'une des deux suites $(v_{n})$ ou $(w_{n})$ diverge, alors $(u_{n})$ diverge.
Avec ces trois résultats, on a largement de quoi conclure sur la convergence de $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ pour peu que les sous-suites extraites soient faciles à étudier.