$1 \notin sp(f)$

Bonjour.

Il suffit de contraposer et d'utiliser la définition de "valeur propre".

Bon travail !

lol oui ça va à peu près, mais tu utiliserais des "donc" des "car" et des "supposons que", ce serait moins apeuré. Et en un certain sens puisque tu as besoin de demander si ça va, c'est automatiquement que.... ça ne va pas pour toi. Si tu n'es pas convaincu toi-même par un texte, pourquoi voudrais-tu que les autres les soient.

Donc il y a un problème.

Il faudrait répéter tout le long "pour un certain u non nul".

Je préfère quant à moi, la quantification "dans le bon ordre", à savoir :
"Il existe un vecteur u non nul tel que : f(u)=u".

Mais c'est peut-être un formatage que j'ai subit (même s'il me sied).

Je comprends la remarque de Christophe comme une alerte à la prudence quand on utilise des équivalences.
En ce qui me concerne, j'ai le sentiment (et donc ce n'est pas objectif) que c'est la toute première qui te fait douter (le plus).
Bref, pour se convaincre soi-même, chose difficile dans la vie courante mais facile quand on fait des maths, il suffit de détailler et encore détailler. Et mettre des donc, des donc, des donc, puis remonter avec des donc, en détaillant etc.

\begin{align}
1\in sp(f) &\iff \exists u\ne0,\ f(u)=u\\
&\iff \exists u\ne0,\ f(u)-u=0\\
&\iff \exists u\ne0,\ u\in\ker(f-Id)\\
&\iff \ker(f-id)\neq\{0\}
\end{align}

je pense que je dois refaire mon démonstration procédant par montrer chaque implication indépendamment cest a dire

Oui. Bien que Jer t'ait donné une correction formelle parfaite d'une preuve convaincante à coup d'équivalences***, le plus important pour toi, c'est que tu réussisses à atteindre un stade où ta preuve t'a rendu tellement sûr toi-même que tu ne ressens plus le besoin de nous demander

*** Les preuves à coups d'équivalences font chier les correcteurs qui doivent lire dans les deux sens. Par ailleurs, quitte à utiliser des équivalences enchainées, autant appeler les choses par leur nom: une phrase est une expression mathématique comme une autre dont la valeur est dans $\{vrai;faux\}$ (même si c'est une approche platoniciennedéplaisante pour certains) et le signe à mettre est le signe $=$ et non le signe $\iff$.

Ce qui donne: $(1\in sp(f)) = (\exists u\neq 0: f(u)=u) = (\exists u\neq 0: (f-Id)(u)=0) = (Ker(f-Id) \neq \{0\})$
ce que tout le monde peut comprendre comme un établissement calculé de vérité calculatoire (et qui paradoxalement est beaucoup moins "chiant" à lire)