Théorème de Heine

on choisit 2 points dans l'intervalle $I$ distants de moins de $\eta$ ... on sait que $I$ peut être recouvert par une union finie de boules de centre $z \in Z$ et de rayon $\beta_{z,\epsilon}$ ... comme $x$ est dans $I$, il se retrouve dans au moins une de ces boules : il existe bien un tel $z \in Z$ etc ... la distance entre $x$ et le centre $z$ de la boule est inférieure à son rayon ... de plus, de par l'inégalité triangulaire, la distance entre le point $y$ et le centre $z$ de la boule est inférieure à (bla bla) et ainsi majorée par $\eta+\beta_{z,\epsilon} \leq 2 \beta_{z,\epsilon}$, puisque $\eta$ est le $\min$ de tous les $\{ \beta_{z,\epsilon} \}_{z \in Z}$ ... après, j'imagine que la continuité de $f$ :
$$ \forall \epsilon >0, \; \exists \beta_{\epsilon} >0, \; \forall x,y \in I, \; d(x,y) \leq \beta_{\epsilon} \; \Longrightarrow d(f(x),f(y)) \leq \displaystyle{\frac{\epsilon}{2}} $$
et aussi que les $\beta_{z,\epsilon}$ sont inférieurs à $\beta_{\epsilon}$ va impliquer la dernière inégalité avec $\epsilon$ ... comme c'est vrai pour $x \in I$ quelconque, la continuité de $f$ est uniforme sur $I$ ... + clair comme cela ???

ps : je réalise à quel point c'est fastidieux de l'expliquer / rédiger avec des phrases ...

Que n'as-tu pas compris dans l'extrait que tu cites !?

Le terme "en choisissant" est juste imagé. On peut "refroidir" la preuve et la rendre formelle. Mais cette preuve académique chargée d'indices n'est pas forcément la plus agréable à lire. Je te donne la trame d'une autre preuve (enfin d'une autre rédaction).

1) Cas1: il existe $e>0$ tel que pour tout $u>0$, il existe $(x,y)$ tel que $d(x,y)<u$ et $d(f(x),f(y)) >e$

2) Cas2: l'énoncé contraire

Le cas 1 ne peut pas survenir. Soit en effet un point $a$ tel que pour toute $B$ boule ouverte de centre $a$, il existe $x,y$ dans $B$ tels que $d(f(x),f(y))>e$. Cela contredira la continuité de $f$ en $a$. Tu as donc pour tout $a$ l'existence d'une boule ouverte $B\ni a$ telle que pour tous $x,y$ dans $B :d(f(x),f(y)) <2e$. L'ensemble de ces boules recouvre donc ton espace. Il y en a donc un nombre fini qui recouvre ton espace et tu n'as plus qu'à conclure.

Je te laisse faire à titre d'exercice une mise en forme formelle