Polynôme
Réponses
-
Comme ça, je calculerais pour commencer $(1+i)^2$.
-
Bonsoir,
@Dom
oui merci
\begin{align}
(1+i)^{2n}&=\sqrt{2}\big(e^{\tfrac{i\pi}{4}}\big)^{2n}\\
&=2^n\big(e^{i\tfrac{n\pi}{2}}\big) \text{ après application de la formule de }{\color{red}{M}}\text{oivre }
\end{align}
[Abraham de Moivre (1667-1754) prend toujours une majuscule. AD]
Discutons les cas selon $n$
si $n$ est un nombre paire alors il existe $k$ dans $Z$ telle que $n=2k$ donc
$$(1+i)^{2n}=2^n\big(e^{i\tfrac{n\pi}{2}}\big)=4^k\big(e^{ ik\pi }\big) $$ -
Une erreur d'écriture d'après moi ( le module resterait $\sqrt2$...)
-
est ce que cest i non
-
C'est cette écriture que je conteste.
Educ
$(1+i)^{2n}=\sqrt{2}(e^{\tfrac{i\pi}{4}})^{2n}$
-
$(1+i)^2=2i$
Puis pour répondre à la question, il suffit d'étudier selon la parité (voire étude modulo 4) de $n$.
Inutile selon moi d'utiliser ici l'écriture exponentielle. -
Bonsoir
$$(1+i)^2n=(2i)^n$$ comme $(1+i)^{2n}$ est évidement non nul alors $$\text{arg} \big( (1+i)^{2n} \big)=n\, \text{arg}(2i)=n \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$$ -
Comment ça "est évidemment nul" ?
-
Calculer les puissances successives de i devrait t'éclairer.
$n$ n'est pas multiple de 4, je parlais de l'étude de $n$ modulo 4, mais oublie cette histoire pour le moment. -
d'accord
\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}
On remarque que l'on tourne en rond donc la suite complexe $(i^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est périodique de periode $4$ c'est a dire que
$$i^{4+n}=i^{n}$$
donc $$\forall n \in \mathbb{N}\qquad i^{n}\in \{-1,1,-i,i \}$$
\begin{align}
(1+i)^2&=2i\\
(1+i)^{2n}&=(2i)^{n}=2^{n}i^{n}
\end{align}
je suis bloque ici -
Et bien maintenant tu explicites $i^n$ en quatre possibilités.
-
Allons, utilise ton travail :$\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}
$ -
Quel rapport avec le polynôme $C_n$ ?
-
En effet, on n'a que la première question.
Cependant, pour l'évaluation en $i$, le premier terme contient un facteur "en rapport" avec la question 1). -
je comprend pas le passage suivante \begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}
implique ca
$$i^{n}=\begin{cases} 1 &\mbox{if $n \equiv 0 \pmod{4}$,} \\ i &\mbox{if $n \equiv 1 \pmod{4}$,} \\-1 &\mbox{if $n \equiv 2 \pmod{4}$}, \\ -i &\mbox{if $n \equiv 3 \pmod{4}$}. \end{cases}$$ -
1) traduis ce que signifie tes congruences en termes d'égalités entre entiers
2) calcule $i^{4k}$ pour tout $k\geq 0$.
3) conclusion ?
Si tu ne vois pas, fais donc des exemples. Calcule par exemple $i^{16}$ et $i^{19}$. -
Bonjour,
@GreginGre
1) traduis ce que signifie tes congruences en termes d'égalités entre entiers
$$ n \equiv 0 \pmod{4} \iff 4/n \iff \exists k \in\mathbb{N}\quad n=4k\\
n \equiv 1 \pmod{4} \iff 4/n-1 \iff \exists k \in\mathbb{N}\quad n=4k+1\\
n \equiv 2 \pmod{4} \iff 4/n-2 \iff \exists k \in\mathbb{N}\quad n=4k+2\\
n \equiv 3 \pmod{4} \iff 4/n-3 \iff \exists k \in\mathbb{N}\quad n=4k+3\\
$$
2) calcule $i^{4k}$ pour tout $k\geq 0$
Si $k=0$ alors $i^{0}=1$
Si $k=1$ alors $i^{4}=1$
Si $k=2$ alors $i^{4\cdot 2}=(i^{4})^{2}=1^2=1$
Si $k=3$ alors $i^{4\cdot 3}=(i^{4})^{3}=1^3=1$
donc pour tout $k\geq 0$ $i^{4\cdot k}=(i^{4})^{k}=1^k=1$
3) conclusion ?
j'arrive pas a faire une relation entre 1 et 2
4)
j'ai calculé des exemples:
$i^{16}=i^{4.4}=1$
$i^{19}=i^{16+3}=i^{4.4}i^{3}=1.i^3=-i$ -
Regarde comment tu as procédé pour $i^{19}$. Instinctivement, tu as écrit $19=3+4*4$. Tu ne vois toujours pas la relation avec les congruences ?
-
@GreginGre
voila comment j'ai compris
on a $\forall k\geq 0, i^{4k}\geq 0$ alors si $4\mid n$ (4 divise n ) on a $n=4k ,\quad i^{n}=1$
de même puisque
\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,\\
\forall k\geq 0 \qquad
i^{4k} &{}= 1, \quad &
i^{4k+1} &{}= i, \quad &
i^{4k+2} &{}= -1, \quad &
i^{4k+3} &{}= -i, \\
\end{align}
alors si $4\mid n-1$ (4 divise n-1 ) on a $n=4k+1 ,\quad i^{n}=i$
alors si $4\mid n-2$ (4 divise n-2 ) on a $n=4k+2 ,\quad i^{n}=-1$
alors si $4\mid n-3$ (4 divise n-3 ) on a $n=4k+3 ,\quad i^{n}=-i$ -
Aux erreurs de copier-coller près, c'est ça. Pour être certain que tu aies bien compris: pourrais-tu me détailler une démonstration de l'égalité $i^{4k+3}=-i$ ?
-
@GreginGre
Procédons par récurrence
Soit la proposition $P(n):\quad \forall n\geq 0:\, i^{4n+3}=-i$
Initialisation: $n=0$ alors $i^{3}=-i$ donc $P(0)$ est vrai
Heridité: fixons $n$ dans $\mathbb{N}$ supposons que $P(n)$ est vrai et montrons que $P(n+1)$ l'est aussi
en effet,
$$i^{4(n+1)+3}=i^{4n+4+3}=i^{4n+3}i^{4}=-i.1=-i$$
par hypothèse de récurrence ($i^{4n+3}=-i$ )
donc $P(n+1)$ est vrai
Conclusion: $$\forall n \geq 0:\, i^{4n+3}=-i$$
par même raisonnement on montre que $$ i^{4k}=1\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,$$ -
Tu te compliques bien la vie: les règles de calcul sur les puissances donnent immédiatement $i^{4k+3}=(i^4)^k i^3=1^k i^3=i^3=-i.$
-
@GreginGre
dommage ouii, merci beaucoup pour votre patience et votre aide donc on peut passer a la question 2 -
Bonsoir
voila la question 2 merci d'avance
-
Ce qui suit est doute :
donc : $i^n - 1$ <=> $i^n=1$
C'est plutôt :
donc $i^n - 1$ = 0
Ce qui revient à résoudre : $i^n=1$
Pour être plus rigoureux. -
Bonsoir
@dom
merci beaucoupn voila j'ai rectifie
comme $i$ est le racine de $C_n$ alors
$$C(i)=i(2i)^{n}-2^ni=i2^n(i^n-1)=0$$
donc
$i^n-1=0 $ Ce qui revient à résoudre $i^n=1 $
On a déjà vu que $\forall k \geq 0, i^{4K}=1$ donc les valeurs de $n$ qui vérifions cette équations sont divisible par $4$ ($4\mid n$) alors
$ n \equiv 0 \, \text{mod} 4 $ -
s'il vous plait monsieur si possible de me donner un contre-exemple pour que je comprendre que l’équivalence n'est pas a lieux dans ce cas
merci d'avance -
Je contestait la rédaction.
On a l'équivalence suivante pour tout entier naturel $n$ : $i^n - 1 = 0$ <=> $i^n = 1$
Ce qui est étonnant c'est de dire : "..... donc $i^n - 1 = 0$ <=> $i^n = 1$ ".
C'est le lien entre ce qui est avant le "donc" et après le "donc" qui est maladroit.
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Bonjour!
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