Récurrence linéaire à coeff non constants

Bonne idée que ce $w_n$, c'est la moitié du travail.

[La matrice qui intervient n'est pas constante mais elle a une forme particulière : $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ réels. C'est une similitude, autrement dit la matrice du produit par le nombre complexe $a+bi$ dans la base $(1,i)$ du $\R$-espace vectoriel $\C$.]

Bref, cela semble intéressant de voir $w_n$ comme le carré du module du nombre complexe $z_n=u_n+iv_n$ car alors on peut reformuler le problème en étudiant séparément module et argument de $z_n$.

Je ne suis pas sûr que ça puisse s'exprimer explicitement en fonction de $n$. Cela dit, on peut exprimer le module comme un produit et l'argument comme une somme et en déduire 2-3 trucs :
1) $|P_n| = \displaystyle \prod_{k=1}^n |k+i|^2$, soit $|P_n| = \displaystyle \prod_{k=1}^n \sqrt{k^2+1}$. Je ne pense pas que ça se simplifie, mais on peut déjà dire que $|P_n| \geqslant n!$, ce qui montre que $|P_n|$ tend vers $+\infty$ très vite.
2) Pour l'argument : $arg(P_n) = \displaystyle \sum_{k=1}^n arg(k+i)$, soit $arg(P_n) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \arctan(\frac{1}{k})$. Là non plus, je ne pense pas que ça puisse se simplifier, mais on peut en déduire que $\arg(P_n) = \ln(n) + O(1)$.
Des deux points précédents, on déduit le comportement de $P_n$ dans le plan complexe : il s'éloigne de $0$ à vitesse grand V, tout en tournant (de plus en plus lentement, mais en faisant une infinité de tours autour de $0$ quand même).

Pourquoi ne pas factoriser $n!$ directement dans $P_n$ ? Dans l'expression $u_n = 1+ {\rm i} / n$, on peut écrire $u_n=\exp({\rm i} /n) \cdot (1+{\rm i}/n)\exp(-{\rm i} /n)$ et ce qui suit le $\cdot$ est le terme général d'un produit infini convergent. D'où une estimation de la forme $P_n \sim A n! \exp({\rm i} H_n)$.

Cordialement, j__j

Mais, euh, pourquoi non linéaire ? C'est tout ce qu'il y a de linéaire !

@ remarque
Exactement ! Je voulais l'écrire depuis le début mais d'une chose l'autre, j'ai différé.
C'est sans doute parce qu'on traite généralement de suites à récurrence linéaire à coefficients constants, en omettant justement la mention "à coefficients constants". Alors quand les coefficients ne sont plus constants, on vient dire que ce n'est plus linéaire !
J'ai eu affaire à une suite à récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants, eh bien, une fois trouvées deux suites linéairement indépendantes qui faisaient l'affaire, c'était plié. La différence, c'est que la recherche de ces deux suites n'était pas automatique.
Voir l'analogie avec les équations différentielles linéaires.
Pour l'honneur du forum il faudrait changer ce titre.

Tu aurais pu titrer « Récurrence linéaire à coefficients non constants ». Le « imbriqué » ne veut pas dire grand chose, c'est juste que c'est une suite à valeurs dans $\R^2$.

Ah mais c'est qué on a toujours une expression explicite avec un produit dans le cas linéaire, à coefficients constants ou non. Un produit de matrices, mais un produit tout de même. La question est peut-être de savoir donner une expression plus simple à ce produit utilisant des notations déjà acceptées. Ce qui n'est pas un but très bien défini dans l'absolu mais qui se comprend.