Un exercice sur $e^{-t}/t$

bonjour

on t'impose dans l'énoncé $x$ appartient à $R+$
et donc la réponse que tu donnes à la première question est correcte :
l'intégrale n'est convergente que pour $x > 0$

tu fais allusion à la fonction Gamma d'Euler ce qui est maladroit
en effet la fonction Gamma s'écrit $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$
dans laquelle la variable $x$ (positive strictement) est présente non pas comme borne d'intégration
mais comme variable d'une exponentielle de base $t$

cette référence à $\Gamma$ n'est pas nécessaire :
si $x$ tend vers 0+ alors l'équivalent de l'intégrande soit $lnx$ tend vers l'infini et ton intégrale diverge

il faut savoir également que si on ne t'imposait pas la contrainte $x$ positive ou nulle
ton intégrale serait définie, convergente sur l'intervalle $[a ; 0[\cup]0 ; +\infty[$
avec $a$ constante finie négative (par exemple $-1$ mais certainement pas $-\infty$)
en effet la fonction $\frac{e^{-t}}{t}$ n'est pas définie pour $t$ nulle
mais l'intégrale calculée sur un intervalle autour de $0$
admet une compensation de divergence autour de cette valeur et donc reste convergente

cordialement