Une inégalité sur une suite de polynômes

Velvet
Velvet
dans Analyse
Bonjour,

je bloque là dessus : pour $t \in [0,1]$, on pose $P_0(t) = 0$ puis $P_{n+1}(t) = P_n(t) + (t-P_n(t)^2)/2$ pour tout $t \in [0,1]$ et il faut montrer que $0 \leq P_n(t) \leq \sqrt t $ pour tout $ t \in [0,1]$ et $n \in \mathbb N$.

Le truc c'est que par récurrence je m'en sors pas parce que si on suppose $0 \leq P_n(t) \leq \sqrt t $ alors on peut seulement en déduire que $ 0 \leq (t-P_n(t)^2)/2 \leq t/2 $ donc $ 0 \leq
\sqrt t + t/2 $ i.e. $ 0 \leq P_n(t) \leq \sqrt t +t/2 $ ...


Merci d'avance !

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Ça marcherait sans doute mieux en cherchant une relation du type $P_{n+1}(t) = a(t)\,(P_n(t) - b(t))^2 + c(t)$.
  • Velvet
    Velvet
    Ha oui ca marche nickel ! On a $$ P_{n+1}(t) = -\frac{(P_n(t)-1)^2}{2} + \frac{1+t}{2}
    $$ donc $$ P_{n+1}(t) \leq - \frac{(\sqrt t-1)^2}{2}+\frac{1+t}{2} \leq \sqrt{t}.
    $$ Bon par contre certes ca marche mais je ne comprends pas vraiment le pourquoi profond, en quoi une simple manipulation algébrique permet de débloquer la situation ?
    Merci en tout cas !
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    on aurait aussi pu étudier le sens de variation de la fonction $f_t(x) = x + \displaystyle{\frac{t-x^2}{2}}$ sur $[0,\sqrt{t}]$ ...
  • Siméon
    Siméon
    Il s'agit d'étudier la fonction $f_t : x \mapsto x + (t-x^2)/2$ sur l'intervalle $[0,\sqrt t]$.

    Ta première approche consiste à majorer $\max_{x\in[0,\sqrt t]} (x -x^2/2)$ par $\max_{x\in[0,\sqrt t]} x - \min_{x\in[0,\sqrt t]} x^2/2$. Ceci est trop brutal car ça ne tient pas compte des compensations entre les deux termes. En regroupant tous les termes en $x$, il n'y a plus de problème.

    Plutôt que les manipulations algébriques, on aurait bien sûr pu faire un étude de la fonction $f_t$. [grillé]
  • Chaurien
    Chaurien
    En fait c'est un problème de suite récurrente : le fait qu'il y ait des polynômes ne sert qu'à égarer l'attention.
    Pour $t\in [0,1]$, on considère la fonction $x\mapsto \phi _{t}(x)=x+\frac{1}{2}(t-x^{2})$, $x\in [0,1]$, et l'on étudie la suite récurrente $u_{n+1}=\phi _{t}(u_{n})$, $u_0=0$, par ls procédés bien connus Cette suite est croissante et a pour limite $\sqrt{t}$.
    Bonne continuation.
    F. Ch.
    .
  • Chaurien
    Chaurien
    Revenant aux $P_{n}(t)$, ceci prouve que cette suite de fonctions (polynômes) converge simplement vers $\sqrt{t}$ sur $[0,1]$. La suite de l'exercice, c'est que cette convergence est uniforme sur $[0,1]$.
    F. Ch.
  • Velvet
    Velvet
    Ok merci à tout le monde c'est très clair !
  • Chaurien
    Chaurien
    Dommage de s’arrêter là. Voici la suite du film.

    $\bullet $ La suite de polynômes $P_n$ converge uniformément vers la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur $[0,1]$. Ceci découle d'un théorème de Dini mais peut aussi se prouver directement : $0\leq \sqrt{t}-P_{n}(t)\leq \frac{2}{n}$.

    $\bullet $ La fonction $x\mapsto \left| x\right| (=\sqrt{x^{2}})$ est limite uniforme de fonctions-polynômes sur $[-1,1]$.

    $\bullet $ Soit $a<b$. Pour tout $c \in [a,b]$, la fonction $x\mapsto u_{c}(x)=\left| x-c\right| $ est limite uniforme de fonctions-polynômes sur $[a,b]$.
    Il en est donc de même de toute fonction affine par morceaux et continue sur $[a,b]$.

    $\bullet $ Il en découle le théorème d'approximation de Weierstrass : une fonction continue sur un segment est limite uniforme de fonctions-polynômes sur ce segment.

    Bonne journée.
    F. Ch.
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