Limite d'une suite convergente

Que vaut $\lim_{n\to+\infty}(x_n+\tan x_n)$ ?
Sachant que $(x_n)$ est bornée, qu'en déduit-on de $(\tan x_n)$ ?
Qu'en déduit-on de $(x_n)$ ?

Allez, une 3ème méthode qui est un mix des deux premières.
Si la suite $(x_n)$ convergeait vers une limite $\ell\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ que vaudrait la limite de $x_n+\tan(x_n)$ ?

La dernière inégalité est fausse en général... mais ça n'enlève rien à l'absurdité... Il faut donc détailler ce dernier point.

On a : $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\ell$, $\ 0 \leq \ell \leq \frac{\pi }{2}$.
Si $ \ell \neq \frac{\pi }{2}$ alors :$ \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(x_{n}+\tan x_{n}) =\ell +\tan \ell $, impossible. Donc $ \ell =\frac{\pi }{2}$.
Vrai ou faux : $\displaystyle x_{n}=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{n}-\frac{\pi }{2n^{2}}-\Big(\frac{\pi ^{2}}{4}-\frac{4}{3}\Big)\frac{1}{n^{3}}+o\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)$ quand $n\rightarrow +\infty $ ?
Bonne soirée.
F. Ch.