continuité uniforme sur un non compact

Oui, par exemple la fonction $\tanh(x)$.

Ou $f(x)=\arctan x$, etc.
Plus rigolo, en trouver une qui ne soit pas lipschitzienne, comme $f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$ pour $x\geq 0$, $f$ impaire.
Mais le plus dur c'est de trouver une fonction continue, monotone et bornée sur $\R$ qui ne soit pas uniformément continue sur $\R$ : m'est avis qu'il n'y en a pas.
Bonne journée.
F. Ch.

En effet, c'est ce que je voulais dire. Une fonction continue sur $\R$, et qui admet des limites finies en $ +\infty$ et $ -\infty$, est uniformément continue sur $\R$, merci Heine (Eduard).
Bien cordialement,
F. Ch.

moi-même a écrit:

Les affirmations des posts précédents sont des cas particuliers

Pardon, des conséquences faciles voulais-je dire.

Bien sûr qu'il en existe : faire des escaliers aux marches de plus en plus pentues.

Ben moi, je vois beaucoup mieux avec l'escalier, même virtuel, sans avoir besoin d'exhumer un vieux papier de Hardy.

D'accord, une référence à un vague truc dénommé "escalier" (?) est bien supérieure à une solution explicite due au grand mathématicien Hardy, trop "vieux". Bon. Fallait juste le savoir.

Chaurien écrivait:

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> D'accord, une référence à un vague truc dénommé "escalier" (?) est bien supérieure à une solution explicite due au grand mathématicien
> Hardy, trop "vieux". Bon. Fallait juste le savoir.

Mais ce n'est pas si grave, tu sais... :-)

Je précise d'où vient l'exemple que j'ai donné.

On cherche une fonction $f$ de classe $ \mathcal{C}^1$, croissante, bornée, non lipschitzienne sur $\R$. La dérivée $g=f'$ doit être une fonction continue, positive, non bornée, avec intégrale convergente. On peut d'abord penser à l'exemple classique de la fonction continue affine par morceaux avec les pointes triangulaires successives. Moi c'est ça qui me semble parlant plutôt que les vagues histoires d'escalier. Et ça marche. Mais il faut faire l'effort de définir proprement la fonction en question. Du moins quand on veut être sérieux, notamment avec les étudiants, et donner une véritable solution complète et non une ébauche sommaire.

Il se trouve que l'on dispose d'un exemple de telle fonction définie explicitement par une formule. Dans l'article de 1903 que j'ai cité (oulala qu'il est vieux, quel bel argument), Hardy étudie la convergence de l'intégrale : $\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{\mu }}{1+x^{\nu }\sin ^{2}x}dx$. Un cas particulier a été posé à la William Lowell Putnam Competition en 1942 (encore vieux, même moi je n'étais pas né, c'est dire) avec $\mu =1$ et $\nu =6$. Cette fonction $g(x)=\frac{x^{\mu }}{1+x^{\nu }\sin ^{2}x}$ présente des pics successifs comme l'artefact que j'ai évoqué précédemment, mais cette fois elle est définie par une simple formule et elle est $ \mathcal{C}^{\infty }$. Moi ça me semble intéressant, mais c'est sans doute trop simple.

Ce problème se retrouve dans divers recueils qui n'en donnent généralement pas l'origine, et cette fonction peut donner des exemples ou contre-exemples intéressants sur plusieurs questions. Encore faut-il étudier la convergence de l'intégrale proposée, pour les génies ce n'est qu'un jeu, pour les gens moyens comme moi ce n'est pas trop dur, ça fait un bon exercice de colle à bac+2, faisable mais pas évident. C'est ça les math telles qu'elles se font dans les soutes.

Bonne nuit.
F. Ch.

Je suis bien triste que l'escalier explicite que j'ai donné ci-dessus ne plaise pas à Chaurien.

En effet. C'est pour ça que j'ai pris la fonction $\tanh$ plutôt qu'une fonction à support compact. Mais il n'est prolongeable analytiquement à aucune bande $\{z \in \mathbb C : |\Im(z)| < \epsilon\}$ avec $\epsilon > 0$.
En bonus, la dérivée de mon escalier est partout strictement positive.