Bonsoir à tous,
Je ne saisis pas le passage $|R_n(x)| \leq |f_{n+1}(x)|$ où $f_n : x \mapsto \frac{(-1)^n}{x+n}$ est définie sur $\R+$ et $n \geq 1$ et $R_n$ reste partiel d'ordre $n$ de la série de fonctions de TG $f_n$. J'ai trouvé ceci dans un cours. Merci!
Réponses
"Le reste est majoré par le dernier terme négligé" (phrase qui fait savante mais qu'on ne comprend que quand on fait la preuve).
Sans savoir ce qu'elle vaut je donne une source ici : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_14.html
On pose $g(x)=-\sum_{k \geq 0} f(x+k)$ pour tout $x$ réel avec $f$ continue décroissante positive telle que $\int_{0}^{+\infty} f(s)ds$ converge. On demande de montrer que $g$ est continue et que sa limite est $0$ en $+\infty$ (après avoir montré précédemment que la série de fonctions $g$ convergeait simplement).
Quel est l'intérêt de passer par la convergence simple? En effet n'a-t-on pas pour tout $x$ réel positif :
$|f(x+k)| \leq f(k)$ (hypothèses sur $f$). La série de TG $f(k)$ converge (comparaison somme intégrale car $f$ positive décroissante) donc $\lim_{k \to +\infty} f(k)=0$ d'une part et la série de fonctions $g$ converge uniformément d'autre part. Donc on peut intervertir somme et limite dans la définition de $g$ , qui a alors une limite nulle en $+\infty$ ?
Et pour la continuité, je ne vois vraiment pas comment faire uniquement avec la CS. Avec la CU , la continuité de $f$ permet de conclure.
C'est juste un façon de dire "puisqu'on va étudier $g$ on va d'abord montrer que $g$ est bien définie.
Autrement dit : Pour parler de la convergence uniforme, on a déjà besoin que ça converge simplement (dans la définition d'ailleurs qui demande que ($sup(|f_n - f|)$) converge vers 0.
En effet la CS ne suffit pas.
Je n'ai pas creusé plus loin.
En général on regarde dans l'ordre : la convergence simple, puis la convergence uniforme (même si les propriétés "vont dans l'autre sens").
Ça me fait penser à l'étude de la dérivabilité d'une fonction. Souvent on commence par montrer qu'elle est continue, puis on essaye de démontrer qu'elle est dérivable (même si une fonction dérivable est continue).
Remarque : En prenant la majoration $|f(x+k)| \leq f(k)$ tu passes même par de la convergence normale.
En fait je pense qu'il suffit d'utiliser un argument archimédien , je suis en train d'y travailler :-)
Un argument archimédien selon moi ne marche pas (des fonctions s'annulant sur tous les entiers et n'admettant pas de limite en l'infini existent - penser à des pics de plus en plus fin).
Éventuellent de densité, mais ça donnerait une fonction nulle à parti d'un certain "rang".